数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 8或125 末三位数能被8或125整除 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3
例2己知五位数1234x能被12整除， 求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8
∴X＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】
1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2 若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3 若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4 当 m=_________时，35m5能被25整除 5 当 n=__________时，9610n能被7整除
6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，
能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________ 9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除
的数共有几个？为什么？
11 己知五位数1234A能被15整除，试求A的值。
12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿
参考答案
1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3 6. 10010，9990 7. 9996，9992 8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H 9. 16；27
10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关 11. 仿例2，a＝5
12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数） 13. 11111111100
（2）倍数 约数
【知识精读】
1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 【分类解析】
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下
正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数正 整 正约数 个数计
计 数
2 22 23 1，2 2 3 32 33 1，3 2 2×3 22×3 22×32 1，2， 3，6 1，2，3， 4，6，12 1，2，3， 4，6，9， 12，18，36 4 1，2，4 3 1，2， 4，8 4 1，3，32 3 6 1，3， 32，33 4 9 24 1，2，4， 8，16 5
34 1，3，32， 33，34 5 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：360＝23×32×5，
360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 【实战模拟】
1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____
8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最
大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？ 9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，
如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
答案
1. 1，2，3，4，6，12； ±1，±2，±3，±6，±9，±18 2. 22×3×52； 18 3. 2×5； 22×53
4. 693 5. ［3，5，11］＝165，1155；990 6. A＝3 即求14－2与23－2的公约数 7. 30，60，90
8. （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15 9. 119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
人教七上数学竞赛教程及练习
