2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解 决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不 变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
图① 图②
【答案】
解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2． 证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图① ∴△ACE≌△ABE′．
∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB． 在Rt△ABC中， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°． ∴E′B2+BD2=E′D2． 又∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°． ∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°． ∴△AE′D≌△AED． ∴DE=DE′．
∴DE2=BD2+EC2．
图①
（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图② ∴△AFD≌△ABD．
∴FD=DB，∠AFD=∠ABD． 又∵AB=AC， ∴AF=AC．
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°， ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB， ∴∠FAE=∠CAE． 又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE．
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°． ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°． ∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°． 在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2． 即DE2=BD2+EC2．
图②
3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且∠MON=60°．
（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系．
图① 图② 图③
【答案】
结论：（1）AM=CN+MN；如图①
图①
（2）成立；
证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC． ∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形， ∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°． 又∵AE=CN，
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，∠AOE=∠CON． ∴∠EON=∠AOC=120°． ∵∠MON=60°，
∴∠MOE=∠MON=60°． ∴△MOE≌△MON． ∴ME=MN．
∴AM=AE+ME=CN+MN．
图②
（3）如图③，AM=MN-CN．
图③
4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的 点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=
1∠BAD． 2
【答案】
证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG， ∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF． ∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC+∠ABG=180°． ∴点G、B、C共线． ∵BE+FD=EF， ∴BE+BG=GE=EF． 在△AEG和△AEF中， ?AG?AF??AE?AE ?EG?EF?∴△AEG≌△AEF． ∴∠EAG=∠EAF．
∴∠EAB+∠BAG=∠EAF． 又∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF． ∴∠EAF=
1∠BAD． 2
以上王志强录入
5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．
（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）
1∠BAD时，EF与2
解答：
（1）EF=DF-BE （2）EF=DF-BE
证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB
在△ADM和△ABE中，
?DM?BE???D??ABE ?AD?AB?∴△ADM≌△ABE
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∴∠DAM+∠BAF=
1∠BAD， 21∠BAD 2
几何经典模型：半角模型
