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几何经典模型:半角模型

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半角模型

已知如图:①∠2=∠AOB;②OA=OB.

12O123FEA

连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE, 可得△OEF≌△OEF′

BOF'4123FEA

模型分析

∵△OBF ≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′.

∴∠2=∠AOB,

∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2

又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′.

(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.

12B

模型实例

例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N. (1)求证:BM+DN=MN.

(2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.

证明:(1)延长ND到E,使DE=BM,

∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB. 在△ADE和△ABM中, ?AD?AB? ??ADE??B

?DE?BM? ∴△ADE≌△ABM.

∴AE=AM,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN和△AEN中, ?MA?EA? ??MAN??EAN

?AN?AN? ∴△AMN≌△AEN. ∴MN=EN.

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN.

(2)由(1)知,△AMN≌△AEN. ∴S△AMN=S△AEN.

11 即AH?MN?AD?EN.

22 又∵MN=EN, ∴AH=AD. 即AH=AB.

例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且 ∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.

(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_______________;

(2)如图②,当DM≠DN时,猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.

图① 图②

解答

(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN. (2)猜想:BM+NC=MN.

证明:如图③,延长AC至E,使CE=BM,连接DE. ∵BD=CD,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠MBD=∠NCD=90°. 在△MBD与△ECD中,

∵DB=DC,∠DBM=∠DCE=90°,BM=CE, ∴△MBD≌△ECD(SAS). ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°. 在△MDN和△EDN中,

∵MD=ED,∠MDN=∠EDN=60°,DN=DN, ∴△MDN≌△EDN(SAS). ∴MN=NE=NC+CE=NC+BM.

几何经典模型:半角模型

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