浙江省宁波市2024届高三模拟考试数学试题（含答案解析）
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式
柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高； 锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高； 31台体的体积公式：V?示台体的高； 1(S1?S1S2?S2)h，其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h表32 球的表面积公式：S = 4πR，球的体积公式：V=4πR3，其中R表示球的半径； 3如果事件A, B互斥, 那么P(A+B)=P(A)+P(B) ； 如果事件A, B相互独立, 那么P(A·B)=P(A)·P(B) ； 如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次 的n-k kk概率Pn(k)=Cnp (1－p)(k = 0,1,2,…, n) ． 第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的． 1．已知集合A?x0?x?5，B?xx2?2x?8?0，则AA．??2,4?B．?4,5?C．??2,5?D．?0,4?
2．已知复数z满足z(1?i)?2?i（i为虚数单位），则z的虚部为
????B?
33D．
223．已知直线l、m与平面?、?，l??，m??，则下列命题中正确的是
A．?iB．iC．?3232A．若l//m，则必有?//?B．若l?m，则必有??? C．若l??，则必有???D．若???，则必有m??
1???n?N4．使得?3x?（）的展开式中含有常数项的最小的n为 ?xx??A．4B．5
C．6
D．7
5．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an?0”是“{Sn}为递增数列”的
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
n?x?2y?4?0?6．已知实数x，y满足不等式组?3x?4y?8?0，则x?y的最大值为
?2x?y?8?0?A.0B.2C.4D.8
7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有
A．48种B．72种 C．96种D．216种 8．设抛物线y?4x的焦点为F，过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A,B与抛物线的准线相交于C，若BF?5，则?BCF与?ACF的面积之比
（第7题图）
2两点，
S?BCF? S?ACFA．
5201520B．C．D． 6333129?x2?ax?1,x?a????(,)，满足9．已知a为正常数，f(x)??2,若存在242x?3ax?2a?1,x?a?f(si?n?)fA.(,1)B.(a的取值范围是 ?(c，则实数o12212,1)C.(1,2)D.(,) 22210．已知x,y均为非负实数，且x?y?1，则4x2?4y2?(1?x?y)2的取值范围为
A.[,4]B．[1,4]C．[2,4]D．[2,9]
23第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．
y2?1的离心率是 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ． 11．双曲线x?3212．已知直线l:mx?y?1．若直线l与直线x?my?1?0平行，则m的值为 ▲ ；动直线l被圆
x2?2x?y2?24?0截得弦长的最小值为
▲ ．
13．已知随机变量X的分布列如下表： a 2 X 3 4 1 4P 1 3b 1 6若EX?2，则a? ▲ ；DX? ▲ ． 14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，侧视图为直角三角形，
则该三棱锥的表面积为 ▲ ，该三棱锥的外接球体积为 ▲ ．
2231（第14题图）
2an15．已知数列{an}与{}均为等差数列（n?N?），且a1?2，则
naaaa1?(2)2?（3)3??（n)n? ▲ ．
23n16．已知实数a,b,c满足：a?b?c??2，
D1A1B1EDC1abc??4.则a?b?c的最小值为 ▲ ．
17．已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
CE为侧面BB1C1C中心，F在棱AD上运动，
正方体表面上有一点P满足
AFB（第17题图）
D1P?xD1F?yD1E(x?0,y?0)，则所有
满足条件的P点构成图形的面积为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知函数f(x)?4cosx?sin?x?（Ⅰ）求函数f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足f(B)?0，a?2，且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求CP?PD的最小值．
19．（本题满分15分）如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,?C?60?，点E在线段CD上，满足
??????1. 6?1BE?CD,且CE?AB?CD?2，现将?ADE沿AE翻折到AME位置，使得MC?210．
4（Ⅰ）证明：AE?MB;
（Ⅱ）求直线CM与面AME所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）已知函数f(x)?alnx?x?1，其中a为实常数． x（Ｉ）若x?1是f(x)的极大值点，求f(x）的极小值； 2（Ⅱ）若不等式alnx?511?b?x对任意??a?0，?x?2恒成立，求b的最小值．
2x2x2y2321．（本题满分15分）如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点M(?2,1)是椭圆内一
ab2点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与椭圆C相交于点A,B，l2与椭圆C相
交于点D,E．当M恰好为线段AB的中点时，AB?10． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求AD?EB的最小值．
2|an?1|?an?2an?511，bn},{cn}，满足a1??，b1?1，an?1?22.（本题满分15分）三个数列{an}{，
102bn?1?2bn?1，cn?abn,n?N*．
（Ⅰ）证明：当n?2时，an?1；
（Ⅱ）是否存在集合[a,b]，使得cn?[a,b]对任意n?N*成立，若存在，求出b?a的最小值；若不存
在，请说明理由；
2223??（Ⅲ）求证：
c2c32n??2n?1?cn?1?6(n?N*,n?2)． cn宁波市2024年高考模拟考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．C8．D9．D10．A 9．
f(x)关于直线x?a对称，且在[a,??)上为增函数．
所以a?sin??cos?2??sin(??)．
224因为?????3??(,)，???(,)．
424242?12sin(??)?(，)． 24221?(x?y)?z，则试题等价于x?y?2z?1，满足x,y,z?0，求4(x2?y2?z2)的取值范2所以a?10．简解：围．
设点A(0,0,)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点，则
12|OP|2?x2?y2?z2，于是问题可以转化
显然|OP|?1，|OP|的最小值为O到平面可以利用等积法计算．因为
为|OP|的取值范围．
ABC的距离，
VO?ABC?VA?OBC，于是可以得到
|OP|?112．所以|OP|?[66,，1]即4[x2?y2?z2]?[,4]．
23(x?y)2另解：因为x,y?0，所以?x2?y2?(x?y)2
2令t?x?y，则0?t?1．
4x2?4y2?(1?x?y)2?4t2?(1?t)2?5t2?2t?1?4．
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