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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第6章 双变量线性回归模型的延伸
6.1 复习笔记
考点一：过原点回归 ★★
1．定义及模型估计
过原点的回归模型中是指不含截距项或截距项为0的回归。过原点的回归模型估计结果与正常回归模型的结果的对比如表6-1所示。
表6-1 过原点模型和不过原点模型的区别
2．特点及回归性质 （1）特点
①∑ui＝0对有截距项模型一定成立，但对无截距项模型不一定成立。
②判定系数r2对惯用的模型来说总是非负的。但对无截距模型来说，有时可能出现负值。
（2）判定系数
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∧
www.100xuexi.com 注意：
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 raw r2＝（∑XiYi）2/（∑Xi2∑Yi2）
①虽然raw r2满足关系0＜r2＜1，却不能直接同惯用的r2值相比。 ②除非有非常强的先验预期，否则应采取含有截距的模型。
a．尽管模型含有截距项，但若该项的出现在统计上是不显著的（即统计上等于零），则从任何实际方面考虑，都可认为这个结果是一个过原点回归模型。
b．如果在模型中确实有截距，却执意拟合一个过原点回归，就犯了设定错误，不能得出准确结论。
考点二：变量的测度变化 ★★★★★
1．尺度和测度单位变化
当尺度因子相同时，斜率系数及其标准误不受尺度从（Yi，Xi）变到（Yi*，Xi*）的影响。然而，截距及其标准误却放大或缩小了w1倍。
若X尺度不变（即w2＝1），而Y尺度按因子w1改变，则斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以相同的w1因子。
如果Y尺度不变（即w1＝1），而X尺度按因子w2改变，则斜率系数及其标准误要乘以因子（1/w2），但截距系数及其标准误不变。
从（Y，X）到（Y*，X*）的尺度变换并不影响OLS估计量的性质。r2值也保持不变，由于r2值是一个纯数字或没有维度，所以不随度量单位而变化。
2．标准化
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www.100xuexi.com （1）定义及其优势
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 标准化是指将所有的变量减去样本均值后，再除以样本的标准误。使用标准化后的变量进行回归，可以避免变量单位对于回归方程的影响。与传统的回归模型相比，标准化能够更好的估计回归方程。
（2）β系数
由于对标准化的回归子和回归元做回归，所以截距项总是零。因此对标准化变量做回归： Yi＝β1*＋β2*Xi*＋ui*＝β2*Xi*＋ui*
β系数的含义：如果（标准化）回归元增加一个单位的标准差，则（标准化）回归子平均增加β2*单位个标准差。
（3）标准化回归与传统回归的区别
①标准化回归是一个过原点回归，因此通常的r2不能使用；
②传统模型的β系数与这里的β系数之间存在一种特殊关系。在双变量情形中：β2*＝β（Sx/Sy）。 2·
考点三：回归模型的函数形式 ★★★★★
1．对数线性模型 （1）模型
?2uiY??X假定指数回归模型：i11e∧
。
它又可表达为：lnYi＝lnβ1＋β2lnX1＋ui。 将方程写成：lnYi＝α＋β2lnXi＋ui。
模型就是参数α和β2的线性函数，并且是变量Yi和Xi的对数的线性函数，从而可用
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www.100xuexi.com （2）特点
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 OLS回归来估计。由于线性性质，该模型被称为对数-对数、双对数或对数线性模型。
①β测度的是Y对X的弹性，即给定X变化的百分数引起Y变化的百分数。 ②模型假定Y与X之间的弹性系数β2在整个研究范围内保持不变，因此又名不变弹性模型。
③虽然α和β2是α和β2的无偏估计量，但β1的估计值β1本身却是一个有偏误的估计量。
2．测量增长率：半对数模型 （1）模型
假设总体回归方程模型：Yt＝Y0（1＋r）t； 取对数：lnYt＝lnY0＋tln（1＋r）； 现假设：β1＝lnY0，β2＝ln（1＋r）； 就可把方程写为：lnYt＝β1＋β2t；
在方程中加入一个干扰项便得到：lnYt＝β1＋β2t＋ut。
此模型和任何其他线性模型一样，也是参数β1和β2的线性函数。
（2）斜率系数度量了回归元数量进行改变时回归子所产生的相应变量。也就是： β2＝回归子的相对改变量/回归元的相对改变量，即X的变化导致Y的变化。 如果将Y的相对改变量乘以100，则方程将给出相对于回归元X的绝对改变量Y的百分比变化或增长率。即100乘以β2给出Y的增长率；100乘以β2在文献中被称为Y对X的半弹性。
（3）瞬时与复合增长率
瞬时增长率即为增长模型中趋势变量的系数β2。
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www.100xuexi.com （4）线性趋势模型 Yt＝β1＋β2t＋ut
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 复合增长率：取β2估计值的反对数，再从中减去1，然后用100乘以这个差值即可。
即不做lnY对时间的回归，而是做Y对时间的回归。这样的模型称为线性趋势模型，并且把时间变量t取名为趋势变量。如果方程中的斜率系数是正的，则Y中存在上升趋势；反之，如果它是负的，则Y中存在下降趋势。
因为增长模型和线性趋势模型的回归子不相同，所以不能比较它们的r2值。
3．对数到线性模型
模型可写为：Yi＝β1＋β2lnXi＋ui。
斜率系数：β2＝Y的变化/X的相对变化＝?Y/（?X/X）。
?Y＝β2（?X/X），Y的绝对变化（?Y）等于β2乘以X的相对变化。如果后者乘以100，则方程给出了X变化1%时Y的绝对变化量。
4．倒数模型 （1）模型
假定回归方程：Yi＝β1＋β2（1/X1）＋ui，此模型对参数而言是线性的，因此即使模型对变量X是非线性的但仍属于线性回归模型。
模型的特点：随着X无限地增大，β2（1/X）项趋于零（β2是一常数），而Y趋于极限或渐近值β1。这类模型在结构上有一内在的渐近线或极限值。当变量X值无限增大时，因变量将取此极限值。
（2）扩展
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古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解-第1篇 单方程回归模型(第6~9章)【圣才出品】
