的过渡矩阵。
证 1）设 k1f1?k2f2?...?knfn?0，将x??1代入上式 ，得 f2(?1)?f3(?1)?...?fn(?1)?0,f1(?1)?0， 于是k1＝0。同理，将x??2,...,x??n分别代入，可得
k2?k3?...?kn?0，
所以f1,f2,...,fn线性无关。而P[x]n是n维的，故f1,f2,...,fn是P[x]n的一组基。
2）取?1,?2,...,?n为全体单位根1,?.?,...,?2n?1,则
xn?1?1?x?x2?...?xn?1， f1?x?1xn?1??n?1??n?2x??n?3x2?...??xn?2?xn?1， f2?x?? ...........................................................
xn?12n?1n?2n?1fn?????x?...??x?x， n?1x???1?n?1??1?n?2 故所求过渡矩阵为?......??1??1?1?n?2...???n?42?...??...?n?21?......?。 ...?n?1??...1?2．设?1,?2,...,?n是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且
(?1,?2,...,?s)?(?1,?2,...,?n)A，
证明：L(?1,?2,...,?s)的维数等于A的秩。
证 只需证?1,?2,...,?s的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设
?a11...a1r?..?.A??...?..?.?a?n1...anr...a1s??..?..?，
?..?...ans??且rank(A)?r,r?min(n,s)。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条
??1?a11?1?a21?2?...?an1?n?.............................................??件得??r?a1r?1?a2r?2?...?anr?n，
?...............................................????s?a1s?1?a2s?2?...?ans?n可证?1,?2,...,?r构成?1,?2,...,?r，?r?1,...,?s的一个极大线性方程组。事实上，设
k1?1?k2?2?...?kr?r?0，
于是得(k1a11?...?kra1r)?1?(k1a21?...?kra2r)?2?...?(k1an1?...?kra1r)?n?0，
?a11k1?a12k2?...?a1rkr?0?................................， 因为?1,?2,...,?n线性无关，所以?..........?ak?ak?...?ak?0n22nrr?n11该方程组的系数矩阵秩为r,故方程组只有零解k1?k2?...?kr?0，于是?1,?2,...,?r 线性无关。
其次可证：任意添一个向量?j后，向量组?1,?2,...,?r，?j一定线性相关。事实上，
?a11k1?a12k2?...?a1rkr?a1jkj?0?..........................................设k1?1?k2?2?...?kr?r?kj?j?0，于是?， ?ak?ak?...?ak?ak?0n22nrrnjj?n11其系数矩阵的秩为r n3. 设f(x1,x2,...,xn)是一秩为n的二次型，证明：有R的一个 1(n?s)维子空间V1 2（其中为符号差），使对任一(x1,x2,...,xn)?V1，有f(x1,x2,...,xn)＝0。 证 设f(x1,x2,...,xn)的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵， 2222C，Y＝CX，使f(x1,x2,...,xn)＝y1?...?yp?yp?1?...?yp?q， ?p,当p?q时11由(n?s)＝(n?p?q)＝?。 22q,当p?q时?下面仅对 p ?c11x1?...?c1nxn?y1?.................................???cp1x1?...?cpnxn?yp将Y=CX展开，有方程组?， cx?...?cx?yp?1,nnp?1?p?1,11?..................................???cp?q,1x1?...?cp?q,nxn?yp?q??1?(1,0,...,0,1,0,...,0)'?2'???(0,1,...,0,0,1,...,0)任取?， .......................?..........p?1,0,...,0)'???(0,...,0,1,0,...,则?1,?2,...,?p线性无关，将?1,?2,...,?p分别代入方程组，可解得?1,?2,...,?p，使得 C?1??1,C?2??2,...,C?p??p，且?1,?2,...,?p线性无关。 下面证明p维子空间L（?1,?2,...,?p）即为所要求得V1。事实上，对任意 X0?L（?1,?2,...,?p），设X0?k1?1?k2?2?...?kp?p，代入Y?CX得 Y0?CX0?k1C?1?k2C?2?...?kpC?p?k1?1?k2?2?...?kp?p?(k1,k2,...kp,k1,k2,...,kp,0,...,0)'故 f?X0AX0?k1?...?kp?k1?...?kp?0 即证V1=L（?1,?2,...,?p）。 4. 设V1，V2是线性空间V的两个非平凡的子空间，证明：在V中存在?，使 '2222V1,??V2同时成立。 ??V1，如果??V2，则命题已证。设??V2 证 因为V1，V2非平凡的子空间，故存在??V2，若??V1，则命题也得证。下设??V1，于是有??V1,??V2及 则一定存在??V2， 因而必有????V1,????V2。事实上，若????V1，又 ??V1，????V1，则由V1是子空间，必有??V1，这与假设矛盾，即证????V1，同理可证 ????V2，证毕。 5． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明V中至少有一向量?不属 于V1,V2,...,Vs中的任何一个。 证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。 现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于 V1,V2,...,Vs?1中任意一个，如果??Vs，则命题已证。 若??Vs，对??P,向量k????Vs，且对P中s不同的数k1,k2,...,ks,对应的s个 向量k???(i?1.2....s)中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间 Vi(i?1.2....s?1).换句话说，上述S个向量k???(i?1.2....s)中至少有一个向量不 属于任意一个非平凡子空间Vi(i?1.2....s?1)，记为?0?ki0???，易见?0也不属于 Vs。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。
(完整版)高等代数(北大版)第6章习题参考答案
