如果点条件。
。设被定义为一组Σ的零点。我们来证明SO和表明Σ的零
推论2 系统Σ是SO（SD），当且仅当证明：我们定义
（ ）。
，这是Φ的系统矩阵。在图（4）和（8），我们得到
4.代数能观性
正如我们所预料的SO与代数恰逢可观性（AO）：我们说，Σ是AO如果x可以表示为一个代数y的函数及其导数的有限数量（见，例如迪奥普和佛里斯（1991））。让谷（K≥1）是由所获得的矩阵下面的递归算法（参见，莫利纳利（1976）），
让我们用L表示，最小的整数，仅当
。为我们的目的，我们指出，Φ是SO，当且
，对于SD的情况下，我们必须努力多一点与系统Φ。的确，我们假设。设V是一个列满秩矩阵，使得
。存在一对矩阵Q和K这样，
从（12），很显然非奇异矩阵P，
，
，，其中
和
。我们可以定义一个
是V和M的M-p广义逆，
和
。我们得到
。通过定义向量
。系统Φ在这些新的坐标可以被改写如下：
其中，
因此，当用于SD，它是已知的系统Φ为SD，当且仅当矩阵。我们回到系统Φ，定义
和
是Hurwitz
，让我们推导出矢量ξ，
让我们定义一个新的向量ξ2如下，
因此，考虑到（7），（15），及（11），我们有，
其中，
。在（17）的第一定义，我们采取的微分
算子外从（16）和利用ξ1的定义。因此，我们可以遵循迭代过程以获得方程的下面的一组，对于当k≥1，
其中的
由（11），
定义由下面的定义递归算法，对于k≥1，
因而
是由一个函数的高阶导数表示Y（t）的。以这样的方式实时微分器可以使用,
在黎凡特（2003）和Mboup，join，和Fliess（2009）中可以发现由于其有限时间收敛使得其中两个经常被使用。例如，如果
，那么Z1是代数可观的，即它可以通
过使用一个实时微分器进行重构。为了匹配系统Σ与系统Φ，从现在开始，我们定义
,
，然后
在图（6），方程（5）和（7）是相同的。下面，我们考虑两种情况：当Σ是SO当它是标清，但并非如此。当然，由于Φ是标准的线性系统中，可能有其他的方法，除了提出
一个下面，这可能是用于进行代数重建的状态。
4.1有限时间的重建
我们认为，系统Σ是SO的。然后，重建整个状态向量x（t）的可以在有限的时间内实现：借助于一个代数公式。让我们继续以下面的方式。由于Φ是SO的，然后在这种情况下，从（18），我们得到方程
，
其中
，
。设U是一个矩阵，使
由于（9）必须根据定理1得到满足，我们有
其中，
。现在，我们准备给一个公式在有限时间重建x。
定理3 如果系统Σ是这样，那么状态x可以表示代数由下式
其中
和
定义如下
，M和J递归定义的在（11）和（19），U由（21）定义的。
证明 让我们定义扩展向量
，如下
然后为合适尺寸的矩阵X下式成立：通过考虑（22），（20），（23）可以得到。
备注1 有人可能会得到多一点从以前的分析，也就是，可以用代数公式的一部分表达的μ，可以重建（假设Σ是SO）。事实上，让μ是由方程隐式定义的
。用同样的步骤依次得到（23），μ可以是由下式表示
。由此，因为x= Sz时，
4.2渐近重建
让我们假设Σ是SD的，但并非SO。接下来我们将展示如何x(t)的状态估计。 定理4 假设Σ是SD的，并非SO，我们得到，—（27）设计
，
。通过以下（26）
其中，
,
，满足以下的恒等式，
证明 在这种情况下，Σ不是So的，通过微分器，我们能够重建
只是，其中
由于Φ是SD，由（21），我们有我们有下面的表达式W1和Z2，
为列满秩。然后，从（18）和（13A）和（13C），
因为
，
，我们得到定义，
因此，通过比较（26）和（30），我们得到，
另外，从（13b），（28）和（27），我们得到，由于Φ是SD的，
是Hurwitz；因此
。
收敛到W2。然后通过（31）证毕。
做到，的定义如下，
备注2 如果μˉ需要也重建，则这是可以通过
其中
被隐式由以下方程定义
接近零。
。所以，我们得到直接得到
4.3 x重建的算法总结
下面，有步骤的描述可遵循开展x状态的估计。 步骤1 选择S和T，使E组成的形式（4）。 步骤2 根据（8）计算矩阵
。
和
。我们注意，
。
步骤3 递归算法（11）和（19）计算矩阵步骤4A 检查Σ是SO：测试两个条件（i）都满意转到步骤5A。
和条件（9）中的（ii）。如果他们俩
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