2024年数学天津理高考数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 已知集合 ??={1,2,3,4}，??={??∣ ??=3???2,??∈??}，则 ??∩??=(??)
A. {1}
B. {4}
C. {1,3}
D. {1,4}
?????+2≥0,
2. 设变量 ??，?? 满足约束条件 {2??+3???6≥0, 则目标函数 ??=2??+5?? 的最小值为 (??)
3??+2???9≤0,
A. ?4
B. 6
C. 10
D. 17
3. 在 △?????? 中，若 ????=√13，????=3，∠??=120°，则 ????= (??)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 ?? 的值为 (??)
A. 2 的 (??)
A. 充要条件 C. 必要而不充分条件
??2
??2
B. 4
C. 6 D. 8
5. 设 {????} 是首项为正数的等比数列，公比为 ??，则“??<0”是“对任意的正整数 ??，??2???1+??2??<0”
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条
6. 已知双曲线 4???2=1(??>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 ??，??，??，?? 四点，四边形的 ???????? 的面积为 2??，则双曲线的方程为 (??)
A. 4?
??2
3??24
=1
B. 4?
??24??23
=1
C. 4?
??2??24
=1
D. 4?12=1
??2??2
7. 已知 △?????? 是边长为 1 的等边三角形，点 ??，?? 分别是边 ????，???? 的中点，连接 ???? 并延长到点 ????? ?????????? 的值为 (??) ??，使得 ????=2????，则 ????
8
1
1
11
A. ?5 B. 8 C. 4 D. 8 ??2+(4???3)??+3??,??<0,
8. 已知函数 ??(??)={（??>0，且 ??≠1），在 ?? 上单调递减，且关于
log??(??+1)+1,??≥0,?? 的方程 ∣??(??)∣=2??? 恰好有两个不相等的实数解，则 ?? 的取值范围是 (??)
第1页（共8 页）
A. (0,]
3C. [3,3]∪{4}
12
3
2
B. [,]
34
23
D. [3,3)∪{4}
123
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 已知 ??,??∈??，i 是虚数单位，若 (1+i)(1???i)=??，则 ?? 的值为 ． 10. (??2???) 的展开式中 ??7 的系数为 ．（用数字作答）
11. 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的
体积为 m3．
18
??
12. 如图，???? 是圆的直径，弦 ???? 与 ???? 相交于点 ??，????=2????=2，????=????，则线段 ???? 的长
为 ．
13. 已知 ??(??) 是定义在 ?? 上的偶函数，且在区间 (?∞,0) 上单调递增．若实数 ?? 满足 ??(2∣???1∣)>
??(?√2)，则 ?? 的取值范围是 ．
??=2????2,
14. 设抛物线 {，（?? 为参数，??>0）的焦点为 ??，准线为 ??．过抛物线上一点 ?? 作 ?? 的垂
??=2????
线，垂足为 ??．设 ??(??,0)，???? 与 ???? 相交于点 ??．若 ∣????∣=2∣????∣，且 △?????? 的面积为
27
3√2，则 ?? 的值为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
15. 已知函数 ??(??)=4tan??sin(2???)cos(???3)?√3．
Ⅰ 求 ??(??) 的定义域与最小正周期；
Ⅱ 讨论 ??(??) 在区间 [?4,4] 上的单调性．
16. 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分别为 3，
3，4．现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会．
第2页（共8 页）
ππ
π
π
Ⅰ 设 ?? 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 4”，求事件 ?? 发生的概率；
Ⅱ 设 ?? 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 ?? 的分布列和数学期望． 17. 如图，正方形 ???????? 的中心为 ??，四边形 ???????? 为矩形，平面????????⊥平面????????，点 ?? 为 ????
的中点，????=????=2．
Ⅰ 求证：????∥平面??????；
Ⅱ 求二面角 ?????????? 的正弦值；
Ⅲ 设 ?? 为线段 ???? 上的点，且 ????=????，求直线 ???? 和平面 ?????? 所成角的正弦值．
3
2
18. 已知 {????} 是各项均为正数的等差数列，公差为 ??，对任意的 ??∈???，???? 是 ???? 和 ????+1 的等比中
项．
22
Ⅰ 设 ????=????+1?????，??∈???，求证：数列 {????} 是等差数列； ????2?Ⅱ 设 ??1=??，????=∑2????=1(?1)????，??∈??，求证：∑??=1??<2??2．
??
11
19. 设椭圆 ??2+
??2??23
=1(??>√3) 的右焦点为 ??，右顶点为 ??．已知 ∣????∣+∣????∣=∣????∣，其中 ?? 为原点，
113??
?? 为椭圆的离心率． Ⅰ 求椭圆的方程；
Ⅱ 设过点 ?? 的直线 ?? 与椭圆交于点 ??（?? 不在 ?? 轴上），垂直于 ?? 的直线与 ?? 交于点 ??，与 ??
轴交于点 ??．若 ????⊥????，且 ∠??????≤∠??????，求直线 ?? 的斜率的取值范围．
20. 设函数 ??(??)=(???1)3????????，??∈??，其中 ??,??∈??．
Ⅰ 求 ??(??) 的单调区间；
Ⅱ 若 ??(??) 存在极值点 ??0，且 ??(??1)=??(??0)，其中 ??1≠??0，求证：??1+2??0=3； Ⅲ 设 ??>0，函数 ??(??)=∣??(??)∣，求证：??(??) 在区间 [0,2] 上的最大值不小于 ．
41
第3页（共8 页）
2024年数学普通高等学校招生全国统一考试数学(理)天津卷
