第17卷 第4期1998年 12月北京生物医学工程
BeijingBiomedicalEngineeringVol.17 No.4December. 1998
类正交Gabor展开与在高频心电信号
中的应用
杨 军1 王宏山2 俞梦孙3 摘 要 研究信号的时频分布可加深对信号的理解。本文实现了一种类正交的信号Gabor展开。虽然时域和频域的分辨率存在矛盾,我们可通过针对信号特性和分析的需要选择合适的基函数来得到较好的分布表达。此法用于线性chirp信号和高频心电信号的展开,有较好的效果。
关键词 Gabor变换 高频心电图 时频分析
信号的时频分析
信号的时频分析的任务是将信号在时频平面铺展开来,使人们对信号的局部性质有更深的了解。时频分析主要分为线性与双线性两类。对线性时频分析中以对性质优良的维格纳分布的研究最为广泛。由于维格纳分布存在交叉项,交叉项以高频成分为主,所以在实际应用中,一般要经平滑以得到较为直观的所谓伪维格纳分布。短时付里叶变换(STFT)和小波变换都属于线性变换,即选择合适的基本函数,将信号与此函数比较,如付里叶变换是以正弦函数作为基函数,只是在时频分析中,由于要得到信号的局部特性,对基函数的选择有一定的要求。
信号的展开
从数学的角度来说,信号的表达并不是唯一的。经过展开,信号可以有无限种表达。即如当然,我们需要选择7域中的任一信号s,都可用该域的基函数集{7n}n∈z的线性组合来表示。
一个合适的基函数集,使信号的展开从某一方面说更能反映信号的特性,具有所需的物理意义而且基函数集应有简单的形式。比如,付里叶级数展开把信号从时域变换到频域,反映了信号的频谱分布。
要将一信号在时频平面展开,且同时在时域和频域反映信号的特征,则基函数也须同时在时域和频域有局部性,比如加窗的复正弦函数(Gabor基函数)和尺度函数(小波基函数)。
一般地,信号的展开可表示为
s=
∑a7
nn
n
如果{7n}n∈z对于7域是完备的,即所有7中的s均可以上式展开,则一定存在其对偶集{7δn},使展开系数可由下式计算
an≤s,7
δ≥s(t)7δ3(t)dtnn
∫
11第四军医大学生物医学工程系95级硕士研究生(710032) 21第四军医大学唐都医院设备科 31北京新兴生物医学
工程研究发展中心(100037)
杨军:女,1971年生。第四军医大学生物医学工程系在读研究生,助教。
第4期类正交Gabor展开与在高频心电信号中的应用 ·199·
或an≤s,7
δ≥δ
n
∑s[k]7n3[k]
k
7δn(t)称为分解函数,7δ(t)称为合成函数,也称为7δ(t)的对偶函数。若{7n}是完备且两两正交的,则{7n}是正交的,这种情况下,其对偶函数即为其本身,如付里叶变换的分解与合成函数均为{exp(j2Πnt??T)},若{7n}完备但线性相关的,那么,表达是冗余的,{7n}为框架,这时对偶函数集{7δn}一般不唯一。若{7n}完备且线性独立,则称{7n}与{7δn}是双正交的。
一旦选择了基函数,计算其对偶函数就成为首要解决的问题。
Gabor展开与离散Gabor展开
1、定义[1]
Gabor变换,就是逆的采样短时付里叶变换,定义为
∞∞
m,nm,n
∞∞
m,n
s(t)=
m=-∞n=-∞
∑∑C
h
(t)=
m=-∞n=-∞
∑∑C
h(t-mT)exp(jn8t)
jn8t}dt
Cm,n=
∫
s(t)Χm,n(t)dt=
3
∫
??
3
s(t)Χ(t-mT)exp{-
其中T和8分别表示时间和频率的采样间隔。
对于周期为L的离散信号s[k],离散周期信号的Gabor展开定义为[2]:
πs[k]=??C
m,n
M-1N-1
∑∑C
m=0n=0L-1k=0
m,n
ζh[k-m?M]W
L
n?Nk
L
=
π[k]ζΧ∑s
3
[k-m?M]W
-n?Nk
s[k],h[k],Χ[k]均为周期为L的函数。?M和?N分别表示时间和频率的采样步长。
若假设信号s[k]长度为Ls,Gabor展开基函数h[k]及其对偶函数Χ[k]长为L,则
经补零,将s[k],h[k],Χ[k]均变为周期为L0=Ls+L-?m。
L为有限的,令Ls→∞,从而L0→∞,则离散的Gabor展开为
??C
s[k]=
∞
m,n
=
m,n
∑s[k]Χ
k=0
3
[k-m?M]W
nk
N
N
-nk
π
∞N-1
m=m0n=0
∑∑C
h[k-m?M]W,此处m0=
?M-L.?M
2、Gabor展开的基函数与其对偶函数
由于高斯函数在时频域都有局部性且时间带宽积达到最小(1??2),取h(t)为归一化的
Α4Α2)
高斯函数h(t)=()1??和exp(-t,即取Gabor展开的基函数为时移和频的高斯函数。
Π2
付里叶变换不同,Gabor展开的基函数一般并不构成正交基。所以,对偶函数Χ(t)与基函数不相等,其直接结果为,尽管可以容易地得到在时频域均集中的Gabor基函数,但Χ(t)可能无局部性。这样,Gabor系数Cm,n(信号s(t)与Χ(t)的内积)就不能够真实地反映信号的局部特性,失去了研究的意义[3]。
3、实现中的问题(1)步长与采样率
连续信号Gabor展开的必要条件是采样栅格T8满足:
T8≤2Π
200··北京生物医学工程第17卷
T8=2Π时为临界采样,T8<2Π时为过采样[4]。临界采样时,{hm,t(t)}线性独立,此时Χ(t)和h(t)互为双正交,但尽管h(t)在时频域内是局部性最好的函数,但Χ(t)在时频内却不集中。对于过采样,{hm,n(t)}线性相关,则用其表达原函数是冗余的,因此,Χ(t)的解不唯一。
L对离散周期信号,过采样率定义为a=
?M?N[5]
[2]
,离散信号的过采样率为a=
N。?M
(2)对偶函数的选择和计算
如果选择了基函数为调频的高斯函数,则其对偶函数的计算就成为首要问题。快速计算可利用块循环阵来完成[6]。在过采样的情况下,由于对偶函数不唯一,如何选择对偶函数,使其符合我们信号分析的需要,也同样是非常重要的。
4、类正交的Gabor展开为了研究信号的时频分布,我们希望Χ[k]与h[k]一样同时具有时频域的局部性,而且二者在时频平面的中心相等。临界采样时Χ[k]与h[k]不可能满足这一点,这样在过采样的情况下,使Χopt[k]在满足与h[k]互为对偶函数的同时也满足使Χ[k]与h[k]最Χ[k]-h[k]??2,这里h[k]是归一化的函数,当??Χ??
从而可以求得最佳的对偶函数[6,7]。#很小时,Χ[k]=ah[k],a是一实常数。
这样,离散Gabor展开可写成:接近的最小均方误差的条件:#=min∑??
k=0
∞
L-1
Cm,n=as[k]=
∑s[k]h
k=0
3
[k-m?M]W
N
-nk
M-1N-1
m=m0n=0
∑∑C
m,n
h[k-m?M]WnkN
计算中应选N为2的幂数以便于利用FFT,过采率为a=N???M,?M指时间采样步长,且h[k]和Χ。opt[k]的长度L应可同时被N和?M整除
一般来说,h[k]和Χ。为忠实地反映信号在时频域opt[k]的差异随过采率的提高而减小
的局部特性,须使二者的差尽可能的小,而最小差#与h[k]的选择和采样步长有关,如果
Α1??Α22Π4
=时,Χopt[k]与h[k]h[k]为高斯函数,即h[k]=()exp{-k},则当Α
Π2?MN
最接近。
类正交的Gabor展开用h[k]近似Χ[k],避免了复杂的对偶函数的计算。但由于提高了过采率,也相当于增加了作FFT的运算量。虽然误差是一定存在的,但若可使其减小到允许的范围内,类正交的Gabor系数Cm,n可较好地反映信号的时频特性。
下面给出在matlab上作的两个典型信号和Gabor展开:两个在时间上不重合的有限正弦之和(图1)及线性chirp信号(图2),并且给出了瞬时频率(即瞬时平均频率)。
由于不影响对信号的时频分布的理解,也为了简单直观起见,图中的频谱都只作出正半部分。信号长度Ls=64,h[k]长度L=16,N=8,?M=4。
cos(k32),k∈[-Ls+1,0];
图1中左上为信号x[k]=cos(k??2),k∈[1,Ls??2];
0,其它;
左下为信号在时频平面上的Gabor展开系数;右上是Gabor展开的瞬时(平均)频率;右下是Gabor展开的平面图。
图2中左上为信号x[k]=exp(j3k^2??30);左下为信号在时频平面上的Gabor展开系
类正交Gabor展开与在高频心电信号中的应用_
