教学资料范本 高中数学第二章随机变量及其分布2-4正态分布优化练习新人教A版选修2-3【2024-2024学年度】 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 6 2.4 正态分布 [课时作业] [A组 基础巩固] 1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A．1 C．0 B．－1 D．不确定 解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0. 答案：C 2．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( ) A．σ1>1>σ2>σ3>0 C．σ1>σ2>1>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 1解析：当μ＝0，σ＝1时，f(x)＝e2π在x＝0处取最大值1，故σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的2π形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D. 答案：D 3．若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)＝e12π，X在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为( ) A．p1>p2 B．p1c)＝a，则P(X>4－c)等于( ) A．a B．1－a C．2a D．1－2a 解析：因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(Xc)＝1－a. 答案：B 5．(20xx年高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,3)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 解析：P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则P(3<ξ<6)＝×(95.44%－68.26%)＝13.59%. 答案：B 6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________． 解析：由题意得μ＝1， ∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)， ∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.8 7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________． 解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. 又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2， 122D(Y)＝9D(X)＝62. ∴Y～N(2,62)． 答案：Y～N(2,62) 8．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝________. 3 / 6 解析：因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ<1)＝P(ξ>3)，从而μ＝答案：2 9．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，求P(ξ>2)． 解析：根据正态曲线的对称性，得P(－2≤ξ≤2)＝2P(－2≤ξ≤0)＝0.8. ∴P(ξ>2)＝1－0.8＝0.1. 21＋3＝2，即μ的值为2. 210．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，则成绩不及格的人数占多少？ 解析：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)， 则μ＝70，σ＝10. ∵P(60＜X≤80)＝P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6. 1∴P(X＜60)＝[1－P(60＜X≤80)] 21＝×(1－0.682 6)＝0.158 7. 2即不及格学生占15.87%. [B组 能力提升] 1．设随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( ) A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975 解析：ξ～N(0，σ2)，则P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C. 答案：C 2．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的 ( ) A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α?(μ－3σ，μ＋3σ) 4 / 6 C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α?(μ－2σ，μ＋2σ) 解析：由生产实际中的3σ原则可知：P(μ－3σ
