微专题一：聚焦新题型之结构不良试题
《中国高考评价体系》中的“四翼”——基础性、综合性、应用性、创新性，回答了高考“怎么考”的问题．高考数学的创新性强调对知识的灵活运用，通过命制开放性试题、结构不良试题，发挥选拔功能，同时，合理创设情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论．结构不良试题主要指试题的目标、条件和解决三者中至少有一个没有明确界定的问题．将结构不良试题进行问题表征，即将题目设置的探索创新情境抽象成常规数学问题模型，是解决问题的关键．
例1 (2024届山东新高考模拟考)在①b1＋b3
＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2?
解：根据题意，因为b2＝3，b5＝－81，{bn}是等比数列，
所以b1＝－1，q＝－3，所以bn＝－(－3)n－1，由b1＝a5，得a5＝－1，
方法一：选①，b1＋b3＝a2时，a2＝－10，又a5＝－1，所以d＝3，a1＝－13，
k（k－1）329
Sk＝－13k＋×3＝k2－k，
222329329
所以Sk＋1＝k2－k＋3k－13，Sk＋2＝k2－k2222＋6k－23，
要使Sk＋1＜Sk，且Sk＋1＜Sk＋2.
选③，因为S5＝－25时，a5＝－1，所以d＝2，a1＝－9，
??2k－9＜0，79
同理求得?所以＜k＜，所以存在
22
??2k＞7，
k＝4符合题意．
方法二：选①，在等差数列{an}中，a5＝－1，a2＝b1＋b3＝－10，所以d＝3，
所以an＝3n－16，此时存在k＝4，使ak＋1＝a5
＜0，ak＋2＝a6＝2＞0，
即存在k＝4符合题意．
选②，同理可得an＝－28n＋139，此时{an}为递减数列，
所以不存在正整数k符合题意．
选③，同理可得an＝2n－11，此时存在k＝4，使ak＋1＝a5＜0，ak＋2＝a6＝1＞0，即存在k＝4符合题意．
点拨 本题考查等差数列和等比数列基本量的运算，是高考必考内容，无论选择哪个条件，目的都是为了找到数列{an}的通项公式，由于每个学生的视角不同，所以题目虽然基础，但需要学生能迅速作出选择．本题是新高考模拟卷中一道典型的“结构不良型”试题，具有一定的开放性、探究性．选择计算量更小的关系完善方程(组)，从而求出相关数列，再进行探究．此题型是新高考题型探索中比较成熟的成果之一，应给予一定的关注．
变式1 (原创题)在①a1，a3－1，a4＋3成等比
S9
数列；②an＋1(an＋1＋an－3)－2an(an＋3)＝0；③－9
S5
＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，5
若问题中的t存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，________，{bn}是等比数列，且b2＝2，b4b5＝128，
1
??3k－13＜0，1013
则?所以＜k＜，所以存
33
?3k－13＜6k－23，?
在k＝4符合题意．
选②，a4＝b4时，a5＝－1，a4＝b4＝27. 所以a1＝111，d＝－28，所以Sk＝125k－14k2， 所以Sk＋1＝125k－14k2－28k＋111，所以Sk＋2
＝125k－14k2－56k＋194，
要使Sk＋1＜Sk，且Sk＋1＜Sk＋2.
??－28k＋111＜0，则? ??－28k＋111＜－56k＋194，
11183
所以k＞，且k＜，所以不存在k符合题
2828意．
1
b4－1＝a3，设cn＝，是否存在整数t，对任意
anan＋1
t
的n∈N*都有c1＋c2＋…＋cn＞恒成立？若存在，
60
求出t的最大值；若不存在，请说明理由．
解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由题意知，b4b5＝b2q2·b2q3＝4q5＝128，则q5＝32，q＝2，所以bn＝2n－1.
b4＝23＝8，所以a3＝b4－1＝7.
若选①：由a1，a3－1，a4＋3成等比数列，得 (a3－1)2＝a1(a4＋3)，即(7－1)2＝(7－2d)(10＋d)，
17
解得d＝2或d＝－(舍)，故an＝2n＋1，
2
111
则cn＝＝＝
2anan＋1（2n＋1）（2n＋3）
?1－1??2n＋12n＋3?， ??
111??11?
－＋－＋…所以c1＋c2＋…＋cn＝[?2?35??57?
?1－1?1?1－1?＋?2n＋12n＋3?]＝?32n＋3?， ??2??
1?1－1?*假设存在整数t，使对任意n∈N，?32n＋3?2??
1?tt1?11
＞恒成立，则需＜?3－＝，即t＜4，?60602?2n＋3?min15故存在整数t满足条件，且t的最大值为3.
若选②：由an＋1(an＋1＋an－3)－2an(an＋3)＝0得，(an＋1＋2an)(an＋1－an－3)＝0，则an＋1－an＝3，知d＝3.
又a3＝7，故an＝3n－2，
111
所以cn＝＝＝
anan＋1（3n－2）（3n＋1）3
?1－1??3n－23n＋1?， ??
1111
1－?＋?－?＋…＋c1＋c2＋…＋cn＝[?4??47?3?
?1－1?1?1－1??3n－23n＋1?]＝3?3n＋1?， ????
1?1?
假设存在整数t使对任意n∈N*，?1－3n＋1?3??tt1?1－1?1＞恒成立，则需＜?3n＋1?＝，即t＜15，60603??min4故存在整数t满足条件，且t的最大值为14.
S9S5
若选③：－＝a5－a3＝2，即2d＝2，d＝1，
95
2
又a3＝7，故an＝n＋4，所以cn＝
1
＝anan＋1
111
＝－，c1＋c2＋…＋cn
（n＋4）（n＋5）n＋4n＋511??11??1－1?11?＝?5－6?＋?6－7?＋…＋?＝－， ??n＋4n＋5?5n＋5
11t
假设存在整数t使对任意n∈N*，－＞5n＋560t?1－1?1
恒成立，则需＜?5＝，即t＜2，故存?60?n＋5?min30在整数t满足条件，且t的最大值为1.
例2 (2024届山东济南期末调研)在①b2＋2ac＝a2＋c2，②acosB＝bsinA，③sinB＋cosB＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
π
b，c，________，A＝，b＝2，求△ABC的面积．
3
解：若选择①b2＋2ac＝a2＋c2，
a2＋c2－b22ac2
由余弦定理得cosB＝＝＝，
2ac2ac2π
因为B∈(0，π)，所以B＝，
4
ab
由正弦定理＝，
sinAsinBbsinA得a＝＝sinB
2·sin22
π3
＝3，
ππ
因为A＝，B＝，
34ππ5π
所以C＝π－－＝，
3412
5πππ?ππ?
所以sinC＝sin＝sin?＋?＝sincos＋
1246?46?ππ6＋2cos·sin＝， 464
6＋211
所以S△ABC＝absinC＝×3×2×
2243＋3
＝.
4
若选择②acosB＝bsinA， 则sinAcosB＝sinBsinA， 因为sinA≠0，所以sinB＝cosB， π
因为B∈(0，π)，所以B＝；
4
ab
由正弦定理＝，
sinAsinBπ2·sin
3bsinA
得a＝＝＝3，
sinB2
2ππ
因为A＝，B＝，
34ππ5π
所以C＝π－－＝，
3412所以sinC＝sin
5πππ?ππ?
＝sin?＋?＝sincos＋1246?46?应权衡利弊，迅速选择最合适的条件．
变式2 (2024届山东临沂期末调研)在①cosA325＝，cosC＝，②csinC＝sinA＋bsinB，B＝60°，55
1
③c＝2，cosA＝三个条件中任选一个补充在下面问8
题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，________，求△ABC的面积S.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选①，
325因为cosA＝，cosC＝，
5545所以sinA＝，sinC＝.
55
所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝42535115×＋×＝， 555525
1153×
25asinB335由正弦定理得b＝＝＝，
sinA420
5
11335599
所以S＝absinC＝×3××＝.
2220540若选②，
因为csinC＝sinA＋bsinB， 所以由正弦定理得c2＝a＋b2. 因为a＝3，所以b2＝c2－3.
1
又因为B＝60°，所以b2＝c2＋9－2×3×c×＝
2c2－3.
1
所以c＝4，所以S＝acsinB＝33.
2若选③，
1
因为c＝2，cosA＝，
8
222
1b＋2－3b
所以由余弦定理得＝，即b2－－5
822b×2
ππ6＋2cos·sin＝， 464
6＋211
所以S△ABC＝absinC＝×3×2×
2243＋3
＝.
4
若选择③sinB＋cosB＝2，
?π??π?
则2sin?B＋?＝2，所以sin?B＋?＝1，
4???4?
π?π5π?
因为B∈(0，π)，所以B＋∈?，?，
4?44?πππ
所以B＋＝，所以B＝，
424
ab
由正弦定理＝，
sinAsinB
π2·sin3bsinA
得a＝＝＝3，
sinB22ππ
因为A＝，B＝，
34ππ5π
所以C＝π－－＝，
3412
5πππ?ππ?
所以sinC＝sin＝sin?＋?＝sincos＋
1246?46?ππ6＋2cos·sin＝， 464
6＋211
所以S△ABC＝absinC＝×3×2×
2243＋3. 4
点拨 本题考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换，同样是高考必考内容，对正余弦定理比较有把握，选择条件①或②，对三角恒等变换很熟悉，选择条件③。由于每个条件都能独立完成解答，故＝
3
＝0，
5
解得b＝或b＝－2(舍去)，
237又sinA＝，
8
115
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×
222
37157×2×＝.816
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