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【详解】 (I) P?X?2Y??x?2y??f(x,y)dxdy??dy?(2?x?y)dx?2y12017. 24( II) 解法一：先求Z的分布函数: FZ(z)?P(X?Y?z)?x?y?z??f(x,y)dxdy
当z?0时, FZ(z)?0; 当0?z?1时, FZ(z)?
??D1f(x,y)dxdy??dy?0zz?y0(2?x?y)dx
?z2?13z； 3当1?z?2时, FZ(z)?1???f(x,y)dxdy?1??D21z?1dy?1z?y(2?x?y)dx
?1?当z?2时, FZ(z)?1.
故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为
1(2?z)3； 3?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)=FZ?(z)??(2?z)2,1?z?2,?0,其它.?解法二：fZ(z)?
?????f(x,z?x)dx，
?2?x?(z?x),0?x?1,0?z?x?1f(x,z?x)??其它?0,?2?z,0?x?1,x?z?1?x,=?其它?0,
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当z?0或z?2时，fZ(z)?0; 当0?z?1时，fZ(z)?当1?z?2时，fZ(z)??z0(2?z)dx?z(2?z) ；
?1z?1(2?z)dx?(2?z)2；
故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为
?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)??(2?z)2,1?z?2,?0,其它.?
27.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X?i)?率密度为
1(i??1,0,1)，Y的概3?1,fY(y)???0,记Z?X?Y.（1）求P?Z?0?y?1,其它
??1?X?0?;（2）求Z的概率密度fZ(z). 2?解 （1）注意到X与Y相互独立，于是
?1??1??1?P?Z?X?0??P?X?Y?X?0??P?Y?X?0?222??????1?1??P?Y???2?2?
（2）先求Z的分布函数。由于?X??1?,?X?0?,?X?1?构成样本空间的一个划分，且
1P(?X??1?)?P(X?0)?P(X?1)?,因此根据全概率公式得Z的分布函数
3.\\
FZ(z)?P(X?Y?z)?P(X?Y?zX??1)P(X??1)?P(X?Y?zX?0)P(X?0)?P(X?Y?zX?1)P(X?1)1?[P(X?Y?zX??1)?P(X?Y?zX?0)?P(X?Y?zX?1)]31?[P(Y?z?1X??1)?P(Y?zX?0)?P(Y?z?1X?1)] 31?[P(Y?z?1)?P(Y?z)?P(Y?z?1)]31?[FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)]3分布函数求导数，可得Z的概率密度
1fZ(z)?[fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)]3 ?1,?1?z?2???3 （概率密度fY求和时，仅改变了定义域）??0,其它28.袋中有1个红球、2个黑球、3个白球，现有放回地取球两次，每次取一个球，以X,Y,Z分别表示两次取球得到的红球、黑球与白球的个数。（1）求P(X?1Z?0);（2）求二维随机变量(X,Y)的概率分布。 解 （1）由条件概率得
P(X?1Z?0)?P(X?1,Z?0)P(X?1,Y?1)?P(Z?0)P(Z?0)1?2?2?1
46?6??3?396?6111C2??P(X?1,Z?0)63?4 也可以有 P(X?1Z?0)??11P(Z?0)9?22或用缩减样本空间法：Z?0，表示两次取球都没有取到白球，即只在红球、黑球中做选择，
因此，样本空间中样本点总数为3*3=9，
1?2?2?14?
3?393?31?，同理可以求得联（2）X与Y的可能取值均为：0，1，2. 且P(X?0,Y?0)?6?64P(X?1Z?0)??.\\
合分布律中的其它概率值。(X,Y)的联合分布律如下表： Y Y X 0 1 2 29.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
0 1 2 1 41 61 361 31 90 1 90 0 f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x,y???
求常数A及条件概率密度fYX(yx)。 解 由概率密度函数的规范性有
1????A???????????f(x,y)dxdy?A?e?x2?????????e?2x2?2xy?y2dxdy
??dx?e?????(y?x)2d(y?x)?A????A?得常数 A?1?，即 f(x,y)?1?e?2x2?2xy?y2,???x,y???
X的边缘概率密度为
fX(x)???所求条件概率密度为
????f(x,y)dy????1???e?2x12?2xy?y2dy
1?e?x2?????e?(y?x)2dy??e?x2fYX(yx)?f(x,y)1?x2?2xy?y2?e,???x???,???y???
fX(x)?（提示:本题充分利用概率积分
?????e?xdx??来简化计算）
2
30.设随机变量X与Y的概率分布分别如下表所示。 X pk 0 1 1 3 2 3.\\
Y pk 且PX2?Y2?1.
-1 0 1 1 31 31 3??（1）求二维随机变量(X,Y)的概率分布；（2）求Z?XY的概率分布。 解 由 PX2?Y2?1 得 PX2?Y2?0，
即 P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??P?X?1,Y?0??0 进而 P?X?0,Y??1??P?X?0,Y?1??P?X?1,Y?0??0
再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得(X,Y)的概率分布如下表： Y X 0 1 -1 0 0 1 0 ????P?X?xi? 1 32 31 1 30 P?Y?yj? 1 31 31 31 31 3（2）Z?XY的可能取值为：-1，0，1。由(X,Y)得概率分布可得Z?XY的概率分布
Z P
31.设随机变量X的概率密度为
-1 0 1 1 31 31 3?12?x,f(x)??9??0,?2,0?x?3?， 令随机变量Y??X,?1,其它?X?1,1?X?2, X?2（1）求Y的分布函数；（2）求概率P?X?Y?. 解 （1）Y的分布函数 FY(y)?P?Y?y?
当 y?1时，FY(y)?0；当 y?2时，FY(y)?1； 当 1?y?2时，
概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后规范标准答案
