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概率论与数理统计 习题三 答案
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：0，1. X和Y的联合分布律如下表： 0 1 2 X Y 3 1 3 0 1113C1g??? 322280 1 80 1121C3g???3/8 2220 1111??? 2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X的可能取值为：0，1，2，3；Y的可能取值为：0，1，2. X和Y的联合分布律如下表： Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 ?4C7352C3gC1C1122g2 ?4C7353 0 C3C123g2 ?4C735C3C123g2 ?4C7350 1 0 2C1C1C263g2g ?4C7352 2C2gC122 ?4C73521C1gCgC6322 ?4C73522C3gC23 ?4C735
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
ππ?sinxsiny,0?x?,0?y??F(x,y)??22
??0, 其它求二维随机变量(X,Y)在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
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ππππππ?singsin?singsin?sin0gsin?sin0gsin434636
2?(3?1).4
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0 f(x,y)???0, 其他求：（1） 常数A；
（2） 随机变量(X,Y)的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????????f(x,y)dxdy??0?0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv
y?0,x?0, 其他yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??100?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499.?3?8
5.设随机变量(X,Y)的概率密度为
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4f(x,y)??
?0, 其它（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
??????????f(x,y)dxdy??20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
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故 k?18
（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx
x?1.5???13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D24?x2?0dx?12(6?x?y)dy?. 83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY(y)??
其它.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P?Y?X?.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的概率密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其它.?0,而
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?5e?5y,y?0, fY(y)??其它.?0,所以
f(x,y)X,Y独立fX(x)*fY(y)
? ??1?0.2?5e?5y?25e?5y,0?x?0.2,y?0
??0, 其它(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图dy
y???x??25e?5ydxD0.2
??0.20dx?x25e-5ydy??(?5e?5x00?5)dx
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
?(1?e?4x)(1?e?2yF(x,y)??),x?0,y?0,?0,其他.求（X，Y）的联合分布密度.
【解】f(x,y)??2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.求边缘概率密度.
【解】X的边缘概率密度为
fX(x)f(x,y)dy?????x(2?x)dy?2.4x2????04.8y(2?x),????０， 其它Y的边缘概率密度为
fY(y)??????f(x,y)dx
?1????y4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2), 0?y?1 ??０， 其它0?x?1 .\\
题8图 题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?e?y,0?x?y f(x,y)???0， 其它求边缘概率密度.
【解】X的边缘概率密度为
fX(x)?????????y?x???xedy?e,x?0f(x,y)dy??
??0, 其它Y的边缘概率密度为
??y?y?x???0edx?ye,y?0f(x,y)dx??
??0, 其它fY(y)????
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?cx2y,x2?y?1f(x,y)??
?0， 其它（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =得
?1-1dx?2cx2ydy?x14c?1. 21c?21. 4(2) fX(x)??????f(x,y)dy
概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后规范标准答案
