2020版高三一轮复习：第4课 函数及其表示

第4课 函数及其表示

普查讲4 函数及其表示

1．函数的概念

a．利用函数的概念进行函数的判断

(1)(2015浙江，5分)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( D ) A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1| 解析：A.取x＝0，则sin2x＝0， π

∴f(0)＝0；取x＝，则sin2x＝0，

2

∴f(0)＝1，∴f(0)有两个值，不符合函数的定义， ∴该选项错误；

B．取x＝0，则f(0)＝0；取x＝π，则f(0)＝π2＋π， ∴f(0)有两个值，不符合函数的定义，∴该选项错误； C．取x＝1，则f(2)＝2；取x＝－1，则f(2)＝0，

∴f(2)有两个值，不符合函数的定义，∴该选项错误；

D．令x＋1＝t，则f(x2＋2x)＝|x＋1|可化为f(t2－1)＝|t|，再令t2－1＝x，则t＝±x＋1， ∴f(x)＝x＋1，即存在函数f(x)＝x＋1满足对任意x∈R，都有f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴该选项正确．

(2)(2018山东济宁一中月考，5分)下列图形中表示函数图像的是( C )

解析：A，B，D选项中都存在一个x有两个y值与之对应，故不满足函数的概念，C选项满足对于每一个确定的x值都有唯一一个y值与之对应，满足函数的定义．

b．同一函数的判断方法

(3)(2019汇编，5分)下列各组函数中，表示相同函数的是__③④__.

① y＝x与y＝x2； x2

② y＝x与y＝；

x③ y＝x2与s＝t2；

（x－1）（x－2）

④ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，x∈{1，2}与g(x)＝，x∈{1，2}．

x－3

解析：两个函数是同一函数的条件是函数的定义域、对应关系、值域都相同． ①不是相同函数：∵y＝x与y＝x2的对应关系不同，∴不是相同函数；

x2

②不是相同函数：∵y＝x的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴不

x是相同函数；

③是相同函数：∵y＝x2与s＝t2的定义域都为R，值域都为[0，＋∞)，对应关系也相同，∴是相同函数；

（x－1）（x－2）

④是相同函数：∵f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)，x∈{1，2}和g(x)＝，x∈{1，

x－32}的定义域都是{1，2}，且对应的函数值都为0，∴值域都为{0}，对应关系相同，∴是相同函数．

2．函数的定义域及其求法

a．已知函数解析式求函数的定义域

(4)(2019汇编，12分)求下列函数的定义域：

①函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为__(－∞，－3)∪(1，＋∞)__；

1?0，1?∪(2，＋∞)__； ②函数f(x)＝ 的定义域为__?2?（log2x）2－1

πkπ，＋kπ?(k∈Z)__； ③函数f(x)＝tanx 的定义域为__?2??x2－1?0?④函数f(x)＝??的定义域为__(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)__．

?x－1?

解析：①由题意可得x2＋2x－3>0，即(x－1)(x＋3)>0，解得x>1或x<－3，∴定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

?x>0，?

②由题意可得? 2－1>0，?（logx）?2

??x>0，1即?解得02，

2?log2x>1或log2x<－1，?

1

0，?∪(2，＋∞)． ∴定义域为??2?tanx≥0，??

③由题意可得?π

x≠＋kπ（k∈Z），??2π

解得kπ≤x<＋kπ(k∈Z)，

2π

kπ，＋kπ?(k∈Z)． ∴定义域为?2??x－1≠0，????x≠1，

2④由题意可得?x－1即?2

?x－1≠0，≠0，???x－1解得x≠±1，

∴定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)．

b．求解抽象函数的定义域 (5)(2019汇编，6分)①已知函数f(2x＋1)的定义域为[1，2]，则函数f(x)的定义域为__[3，5]__；

x??4?

②已知函数f(x)的定义域为(－∞，1]，则f??2?＋f?x?的定义域为__(－∞，0)__． 解析：①∵f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， ∴3≤2x＋1≤5，∴f(x)的定义域为[3，5]． x

≤1，2②∵f(x)的定义域为(－∞，1]，∴

4

≤1，x

???

x??4?解得x<0，∴f??2?＋f?x?的定义域为(－∞，0)．

c．已知函数的定义域，求参数的取值范围

kx＋730，?(6)(经典题，5分)已知函数y＝2的定义域为R，则实数k的取值范围为__??4?kx＋4kx＋3__．

kx＋7

解析：由函数y＝2的定义域为R可知kx2＋4kx＋3≠0对一切x∈R恒成立．当

kx＋4kx＋3k＝0时，不等式显然成立；当k≠0时，设g(x)＝kx2＋4kx＋3，则有Δ＝16k2－12k<0，解得33

0，?. 0

3．求函数解析式的若干方法

(7)(2019汇编，15分)完成下列问题：

2?2＋1＝lgx，则f(x)的解析式为__f(x)＝lg①已知f ?(x>1)__； ?x?x－111

x＋?＝x2＋2，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)__； ②已知f ??x?x

1③已知f(x)为一次函数，f(f(x))＝4x－1，则f(x)的解析式为__f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1__；

31?112＋(x≠0)__；④已知函数f(x)满足f ?＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(x)的解析式为__f(x)＝x ?x?xx⑤已知对于任意实数x，y，等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立．若f(0)＝1，则f(x)

的解析式为__f(x)＝x2＋x＋1__．

2?222＋1＝lgx，得f(t)＝lg解析：①令＋1＝t，∵x>0，∴t>1，∴x＝，代入f?.∴f(x)?x?xt－1t－12

的解析式为f(x)＝lg(x>1)．

x－1

11111

x＋?＝x2＋2＝x2＋2＋2－2＝?x＋?2－2，设t＝x＋，根据对勾函数的性质可知②f??x??x?xxxt≥2或t≤－2，∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．

③∵f(x)为一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

∴f(f(x))＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，

?2????k＝4，?k＝－2，

?∴解得? 1或??kb＋b＝－1，?b＝1，b＝－???

?

3

1

∴f(x)的解析式为f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.

31?1

④∵f(x)对任意x≠0满足f??x?＋xf(－x)＝2x， 1?12∴令＝－x，代入方程得f(－x)－xf?＝－， ?x?xx

k＝2，

??f??x?＋xf（－x）＝2x，1?1

联立，得?解得f?x?＝x＋x， ?12??＝－，f（－x）－xf??x?x

211

1

∴f(x)＝x2＋(x≠0)．

x

⑤(法一)∵对于任意实数x，y，等式f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立，且f(0)＝1，∴不妨令x＝0，则有f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y(y－1)＝y2－y＋1.

再令－y ＝x，得函数解析式为f(x)＝x 2＋x＋1.

(法二)∵对于任意实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)恒成立，且f(0)＝1， 不妨令x－y＝0，则x＝y, f(0)＝f(x)－x(x＋1)＝1， 则f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1. 4．分段函数的概念和简单应用

a．已知分段函数的解析式，求函数值

??1＋log2（2－x），x<1，

(8)(2018河北邯郸期末，5分)设函数f(x)＝?x－1则f(－2)＋f(log212)

?2，x≥1，?

＝( C )

A．3 B．6 C．9 D．12

??1＋log2（2－x），x<1，

解析：∵函数f(x)＝?x－1

??2，x≥1，

∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3, 11

f(log212)＝2log212-1＝2log212×＝12×＝6，

22∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

b．已知分段函数的解析式，求解不等式

?x＋1，x≤0，?1

x－?>1的x的取值范(9)(2017全国Ⅲ，5分)设函数f(x)＝?x则满足f(x)＋f ??2???2，x>0，

1－，＋∞?__． 围是__??4?

11111x－?>1等价于x＋1＋x－＋1>1，解析：若x≤0，则x－≤－，则f(x)＋f?即2x>－，?2?222211

则x>－，此时－

44

1111

x－?＝2x＋2x－2>1恒成立； 若x>，则x－>0，则f(x)＋f??2?22

11111

x－?＝2x＋ x－＋1>1，即2x＋ x>. 若0

∵0恒成立．

221

－，＋∞?. 综上，x的取值范围是??4?

c．应用分段函数的图像与性质，求解参数的值或范围

??3x－b，x<1，?5??＝4，则b＝( D ) (10)(2015山东，5分)设函数f(x)＝?x若f ?f ??6???2，x≥1，?

7

A．1 B. 8

3C. 41 D. 2

?3x－b，x<1，?

解析：∵函数f(x)＝?x

?2，x≥1，?

5?55

∴f ?＝3×－b＝－b. ?6?6253若－b≥1，即b≤， 22?5??＝f ?5－b?＝25 －b＝4，解得b＝1； 可得f ?f ??6???2?22

53若－b＜1，即b>， 22

?5??＝f ?5－b?＝3?5－b?－b＝4， 可得f ?f ??6???2??2?

731解得b＝＜(舍去)．综上，b＝.

822

??－x＋6，x≤2，

(11)(2018河北期末，4分)若函数f(x)＝?(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋

?3＋logax，x>2?

∞)，则实数a的取值范围是__(1，2]__．

?－x＋6，x≤2，?

解析：由题意，当x≤2时， f(x)＝6－x≥4，∴要使函数f(x)＝?(a>0，

?3＋logx，x>2?a

且a≠1)的值域是[4，＋∞)，需满足当x>2时， f(x)＝3＋logax≥4，∴loga2≥1，且a>1，即

loga2≥logaa(a>1)恒成立，解不等式，得1