2015考研专硕管理类联考综合能力数学真题及答案解析
一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A、B、C、D、E五个故选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所故选项的字母涂黑.
1. 若实数a,b,c满足a:b:c?1:2:5，且a?b?c?24，则a?b?c?( ). A. 30 B. 90 C. 120 D. 240 E. 270 答案：E
【解】 因为a:b:c?1:2:5，所以a?24?1?3，b?24?2?6，c?24?5?15.
222888因此a?b?c?3?6?15?270，故选E.
2. 设m,n是小于20的质数，满足条件|m?n|?2的?m,n?共有( ). A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 E. 6组 答案：C
【解】 小于20的质数为2，3，5，7，11，13，17，19
满足题意要求的?m,n?的取值为?3,5?，?5,7?，?11,13?，?17,19?，故选C.
3. 某公司共有甲、乙两个部门，如果从甲部门调10人到乙部门，那么乙部门人数是甲部门的2倍，如果把乙部门员工的1调到甲部门，那么两个部门的人数相等，该公司的总人
2222225数为( ).
A. 150 B. 180 C. 200 D. 240 E. 250 答案：D
【解】 设甲部门有x人，乙部门有y人，根据题意有
?y?10?2(x?10)?x?90?，求解得. ??y4x??y?y?150?55?所以该公司总人数为x?y?90?150?240，故选D.
4. 如图1所示，BC是半圆直径，且BC?4，?ABC?30，则图中阴影部分的面积为( ).
A. 4??3 B. 4??23 33C. 4??3 D. 4??23
33E. 2??23
图1 答案：A
【解】 设BC的中点为O，连接AO. 显然有?AOB?120，于是
阴影部分的面积S?S扇形?S?AOB
?1???22?1?23?1?4??3， 323故选A.
5. 有一根圆柱形铁管，管壁厚度为0.1米，内径1.8米，长度2，若该铁管熔化后浇铸成长方形，则该长方形体体积为( )(单位m，??3.14).
A. 0.38 B. 0.59 C. 1.19 D. 5.09 E. 6.28 答案：C
【解】 显然长方体的体积等于铁管的体积，且外圆半径R?1，内圆半径r?0.9.
所以V?(?R2??r2)h??(1?0.92)?2?3.14?0.19?2?1.1932，故选C. 注：可以近似计算V?2?1?0.9?0.1?2?1.1932，故选C. 6. 某人家车从A地赶入B地，前一半路程比计划多用时45分钟，平均速度只有计划的80%，若后一半路程的平均速度为120千米/小时，此人还能按原定时间到达B地，则A、B的距离为( )千米.
A. 450 B. 480 C. 520 D. 540 E. 600 答案：D
【解】 设A、B的距离为S，原计划的速度为v，根据题意有
3
2
7. 在某次考试中，甲乙丙三个班的平均成绩分别为80，81和81.5，三个班的学生得分之和为6952，三个班共有学生( ).
A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 E. 89 答案：B
【解】 设甲乙丙三个班的人数分别为x，y，z.
根据题意有：80x?81y?81.5z?6952.
S?S?3，?S?6，于是，实际后一半段用时为t?1?6?3?9.
v2?0.8v2v4244因此，A、B的距离为S?2?120?9?540，故选D.
4?80(x?y?z)?6952，于是80(x?y?z)?y?1.5z?6952，所以x?y?z?86.9.
显然x，y，z的取值为正整数.
若x?y?z?86，则y?1.5z?72；
若x?y?z?85，则y?1.5z?152，?0.5z?x?67，即z?134?2x?134，矛盾.
故选B.
8. 如图2所示，梯形ABCD的上底与下底分别为5，7，E为AC和BD的交点，MN过点E且平行于AD，则MN? ( ).
A. 26 B. 11 C. 35
52D. 36 E. 40
776 图2
答案：C
【解】 因为AD平行于BC，所以?AED和?CEB相似. 所以ED?AD?5.
BEBC7而?BEM和?BDA相似，所以ME?BE?7，因此ME?7?AD?35.
ADBD121212同理可得EN?7?AD?35.
12所以MN?ME?EN?35，故选C.
612
9. 一项工作，甲乙合作需要2天，人工费2900元，乙丙需4天，人工费2600元，甲丙合作2天完成了5，人工费2400元，甲单独做该工作需要的时间和人工费分别为( ).
63000元 B. 3天，2850元 C. 3天，2700A. 3天，
D. 4天，3000元 E. 4天，2900元
答案：A
【解】 设甲，乙，丙三人单独完成工作的时间分别为x，y，z，根据题意有：
元
?111?x?y?2??1111151?y?z?4，?2x?2?12?4，所以x?3. ??1?1?5??yx12设甲，乙，丙三人每天的工时费为a，b，c，根据得 ?2(a?b)?2900??4(b?c)?2600，?2a?(1450?1200?650)，因此a?1000. ?2(c?a)?2400?因此，甲单独完成需要3天，工时费为3?1000?3000，故选A.
22210. 已知x1，x2 是x?ax?1?0的两个实根，则x1?x2?( ).
2222A. a?2 B. a?1 C. a?1 D. a?2 E. a?2 答案：A
【解】 由韦达定理得x1?x2?a，x1x2??1.
22所以x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?a2?2，故选A.
11. 某新兴产业在2005年末至2009年末产值的年平均增长率为q，在2009年末至2013
年的年平均增长率比前四年下降了40%，2013年的产值约为2005年产值的14.46(?1.95)倍，则q约为( ).
A. 30% B. 35% C. 40% D. 45% E. 50% 答案：E
【解】 设2005年的产值为a，根据题意：2013年的产值为a(1?q)(1?0.6q). 于是a(1?q)(1?0.6q)?14.46a?1.95a，所以(1?q)(1?0.6q)?1.95. 整理得6q?16q?9.5?0，解得q?0.5或q??9.5(舍去)，故选E.
2444444
22212. 若直线y?ax与圆(x?a)?y?1相切，则a?( ).
3A. 1?3 B. 1?3 C.
225 D. 1+15 E. 1?15 232答案：E
【解】 显然圆的圆心为(a,0)，半径为r?1. 因为直线和圆相切，所以a2a2?11?5a2?1?52解得a?或(舍去)，故选E.
22?1，??a2??a2?1?0.
2
13.设点A(0,2)和B(1,0)，在线段AB上取一点M(x,y)(0?x?1)，则以x，y为两边长的矩形面积最大值为( ).
A. 5 B. 1 C. 3 D. 1 E. 1
82848答案：B
y?0x?1y，即x??1. ?2?00?12以x，y为两边长的矩形面积为S?xy.
【解】 易得直线AB的方程为
14. 某次网球比赛的四强对阵为甲对乙，丙对丁，两场比赛的胜者将争夺冠军，选手之间相互获胜的概率如下， 甲获胜概率 乙获胜概率 丙获胜概率 丁获胜概率 甲 0.7 0.7 0.2 乙 0.3 0.4 0.7 丙 0.3 0.6 0.5 丁 0.8 0.3 0.5 yy?2x，?xy?1. 222所以，矩形面积S的最大值为1，故选B.
2根据均值不等式有：1?x?则甲得冠军的概率为( ). A. 0.165 B. 0.245 C. 0.275 D. 0.315 E. 0.330 答案：A
【解】 甲要获得冠军必须战胜乙，并且战胜丙及丁的胜者. 甲在半决赛中获胜的概率为0.3；
甲在决赛中获胜的概率为0.5?0.3?0.5?0.8；
因此，甲获胜的概率为0.3?(0.5?0.3?0.5?0.8)?0.165，故选A.
15. 平面上有5条平行直线，与另一组n条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则n?( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9 答案：D
【解】 从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是C5?Cn?280， 即n(n?1)?56，解得n?8，故选D.
二、条件充分性判断：第16~30小题，每小题2分，共30分.要求判断每题给出的条件(1)和条件(2)能否充分支持题干所陈述的结论.A、B、C、D、E五个故选项为判断结果，请故选择一项符合试题要求的判断，在答题卡上将所故选项的字母涂黑.
A：条件(1)充分，但条件(2)不充分
22B：条件(2)充分，但条件(1)不充分
C：条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 D：条件(1)充分，条件(2)也充分
E：条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分
16. 信封中装有10张奖券，只有一张有奖. 从信封中同时抽取2张，中奖概率为P；从信封中每次抽取1张奖券后放回，如此重复抽取n次，中奖概率为Q，则P?Q.
(1)n?2 (2)n?3 答案：B
11C1C91【解】 根据题意：同时抽两张，中奖的概率P??. 25C10若放回再重复抽取，则为贝努利试验，显然每次成功的概率为p?1.
10对于条件(1)，当n?2时，中奖的概率为Q?p?(1?p)?p?1?9?1?19，
101010100Q?P，因此条件(1)不充分.
对于条件(2)，当n?3时，中奖的概率为Q?p?(1?p)?p?(1?p)2?p
?1?9?1?9?1?271， 10101010101000??2Q?P，因此条件(2)充分.
综上知：条件(1)不充分，条件(2)充分，故选B.
17. 已知p，q为非零实数，则能确定(1)p?q?1 (2)1?1?1
p的值.
q(p?1)pq答案：B
【解】 对于条件(1)，取p?q?1，则
2p??2；
q(p?1)若取p?1，q?2，则
p??3；因此条件(1)不充分.
q(p?1)433p?q?1，所以p?q?pq. 对于条件(2)，因为1?1?pqpqppp???1，因此条件(2)充分. 于是
q(p?1)pq?qp?q?q综上知：条件(1)不充分，条件(2)充分，故选B.
18. 已知a,b为实数，则a?2或b?2.
(1)a?b?4 (2)ab?4 答案：A
【解】 对于条件(1)，如果a?2且b?2，则a?b?4. 于是由a?b?4可得a?2或b?2，因此条件(1)充分.
对于条件(2)，取a?b??3，显然ab?4，但不能得到结论成立，因此条件(2)不充分.
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