我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数和偶数两大类。灵活运用奇偶数的一些性质，可以解决许多复杂而有趣的问题，这种解题方法就叫做奇偶分析法。
奇偶分析法常用于解决判定满足某些条件的事件是否存在的问题。 用奇偶分析法解题，需要用到奇偶数的许多性质，常用的有： (1)相邻的两个自然数总是一奇一偶； (2)偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数； (3)偶数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数 偶数×奇数=偶数。
[例1] 有四个互不相同的自然数，最大的数与最小的数之差是4。 最大数与最小数之积是奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，则这四
个数的乘积是 分析与解答
由题意知，最大数与最小数之积是奇数，那么最大数和最小数要么是 一奇一偶，要么是两奇，又知最大的数与最小的数之差是4，所以这两个数 是两个奇数，并且四个数之和是最小的两位奇数，即ll，那么最大数和最 小数可能是5和1，7和3，试验得只有5和1再加上3和2符合条件，即四 个数的乘积是1×2×3×5=30。
[例2]在一间屋子里，有一百盏电灯排成一排，依从左到右的顺序 编上号码1、2、3、4、…、99、100，每盏电灯上有一根拉线开关。开始的时 候，全部电灯是关着的。有100个同学在门外排着队，第一个人走进屋 来，把编号是1的倍数的电灯的开关都拉了一下(即把所有的电灯都打开
了)；接着第二个人走进屋来，把编号是2的倍数的所有电灯的开关都拉 了一下(即把2、4、6、…、98、100号电灯又关上了)；第三个人进来把编号是 3的倍数的所有电灯的开关再拉一下，……最后第100个人走进来，把编
号是100的倍数的电灯开关拉了一下(即仅把第100号电灯的开关拉一 下)。这样做完之后，问哪些电灯还亮着? 思路剖析
一盏电灯最后是亮着还是不亮；由开关被拉的次数决定。因为开始 所有电灯是关着的，所以被拉了偶数次的电灯，最后仍是关着的；被拉了 奇数次的电灯，最后则是亮着的。
。 一盏灯被拉的次数，等于它的编号的约数个数，所以需要考虑自然数 约数个数的奇偶性。 解答
我们已知如下结论，只有平方数的约数个数是奇数，所以编号数为1、 4、9、16、25、36、49、64、81、100的电灯开关被拉了奇数次，这10盏电灯最后 还亮着。
【例3】 能否在下面的口内填入加号或减号，使得等式成立?为什
么?
1口2口3口4口5口6口7口8口9=10
思路剖析
根据加减运算中奇偶性的规律知，左边运算结果的奇偶性与所填加 号、减号无关，只与参与运算的数中有多少个奇数有关，由此不难得出结 论。 解答
1、2、3、…、8、9中共有5个奇数，所以不管左边怎样填加号、减号，它 都是一个共有奇数个奇数参与运算的加减算式，运算结果必是奇数，不可 能是偶数10，所以不可能在口内填入适当的加减号使等式成立。 [例4】 问是否存在着这样的整数A、B、C，使得：
思路剖析
我们用奇偶法进行分析，先假设存在这样的数，则由于 A×B×C+A=A×(B×C+1)
因为只有奇数×奇数=奇数，所以A必为奇数。 同样可以说明B、c也都是奇数。 这样得到A×B×C=奇数。
于是A×B×c+A=奇数+奇数：偶数。
这与实际相矛盾，因而不存在这样的数。
根据奇数×奇数=奇数的性质可知A、B、C都是奇数，于是A×B×C也是奇数。
根据奇数+奇数=偶数的性质可知A×B×C+A，A×B×C+B,A ×B×C+c这三个和都是偶数，但这与题设是矛盾的，因此这样的数A、B、C是不存在的。
[例5】 能否在6×6的正方形棋盘格中(图1)写上1。36这36个自然数，使得任意的形如图2a、b、c、d四种形状的4个格中的4个数之和都是偶数。若能办到，请给出一种填数法；若不能办到，试说明理由。 思路剖析
如图2所示，分析图中5个数的和的奇偶性，因为一个十字形可以与图2a、b、c、d都相关。由图2a得a+b+d+e=偶数； ‘
由图2b知b+c+d+e=偶数，由图2a、b可推知a与c同奇偶性； 由图2c知a+b+c+e=偶数，由图2a、c可推知c与d同奇偶性； 由图2d知a+b+c+d=偶数。由图2c、d可推知d与e同奇偶性； ． 这样a、c、d、e有相同的奇偶性，进而推知，a、b、c、 d、e有相同的奇偶性。于是问题就可以解决了。 解答
如图3所示，设十字形方格中的5个数分别为a、b、c、
d、e，由图2a知a+b+d+e=偶数，由图2b知6+c+d+e=偶数， 两式相减得a-c=偶数， 于是a与c同奇偶性。
同理可以说明c与d、d与e具有相同的奇偶性，这样a、c、d、e都具有相同的奇偶性。又由于a+b+d+e=偶数，可知当a、d、e都是奇数时，b也是奇数；当a、d、e是偶数时，b也是偶数。这就说明b也与a、d、e同奇偶性。于是a、b、c、d、e都具有相同的奇偶性。不妨设a、b、c、d、e都为奇数，由图1可知，在6×6的方格中，除四个角(阴影部分)不能被 十字形覆盖外，其他任何地方都可被十字形覆盖。这32个方格中的数都应是奇数。但1至36的自然数中只有18个奇数，因此满足题设条件的填法是不存在的。
所以不存在满足题设条件的填数法。
[例6] 现有足够多的苹果、梨、橘子三种水果，最少要分成多少堆(每堆都有苹果、梨和橘子三种水果)，才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。 解答
当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：
可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆， 才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种 [例7] 一个素数的四次方再加上3仍是素数，这个素数的五次方再加上5是多少？
关键是求出这个素数。这个素数的四次方再加上3结果必大于3，由 结果仍是素数知，一定是奇数。利用奇数-奇数=偶数，可以知道所给素 数的四次方是偶数，再根据乘法的奇偶性规律就知所求素数是偶数，因而 只能是2。
用奇偶分析法解题，可以得出很多奇妙的结论。这是一种在数学竞 赛中经常使用的方法。奇偶分析法的正确运用，关键在于对奇偶性质的 熟练程度，在对某些问题，可以采取设0与设1以后，再进行奇偶分析，可 使问题变得更为简单。
1·有一个俱乐部，里面的成员可以分为两类，第 一类是老实人，永远说真话。第二类人是骗子，永远 说假话。某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下(图 4)，每个老实人的两边都是骗子，每个骗子的两边都 是老实人，记者问俱乐部成员张三：“俱乐部共有多少 成员?”张三回答：“有45人”。李四说：“张三是老实 人”。那么，李四是老实人还是骗子?
2．算式1×2+3×4+5x6+…+99x100的得数是奇数还是偶数?
3．已知a、b、c中，有一个是1997，一个是1998，另一个是1999。试判 断(a-1)×(b-2)×(c-3)的奇偶性。 4．图5是一所房子的示意图，数字表示房间号码；每 一个房间与隔壁房间有门相通。小华想从l号房间出发， 不重复地走遍这九个房间，又回到1号房间。他能做到 吗?
5．1+2+3+4+…+1997+1998是奇数还是偶数?
6．1、2、3、5、8、13、21、34、55、…从第三个数开始，每个数都是前两个数 的和，那么在前1000个数中，有多少个奇数?
7．甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球。 小强每次从甲袋中随意摸出两个球放在外面。如果摸出的两个球颜色相 同，小强就从乙袋里取出一个黑球放到甲袋；如果摸出的两个球颜色不 同，小强就将白球放回甲袋。小强就这样从甲袋中摸了2995次后甲袋中 还剩几个球?它们各是什么颜色?
8．扑克牌中的J、Q、K分别表示11、12、13。甲取13张红桃，乙取13 张草花，两人都各自任意出一张牌凑成一对，这样一共可凑成13对。如 果将每对求和，再将这13个和相乘。问积是奇数还是偶数?
9．有30枚2分硬币和8枚5分硬币，5角以内共有49种不同的币值， 哪几种币值不能由上面38枚硬币组成?
六年级下册奥数讲义-奥数方法：奇偶分析法（练习无答案）全国通用
