上海东门中学数学几何模型压轴题单元测试题（Word版 含解析）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝【解析】 【分析】
5． 3（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】
解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
?AF?AF?∵??EAF??GAF， ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； ②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADC+∠ADG＝180°， ∴C、D、G在一条直线上， 与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中，
?AF?AF?∵??EAF??GAF， ?AE?AG?∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵BE＝DG， ∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 由勾股定理得：BC＝AB2?AC2＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE， ∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
?AD?AD?在△FAD和△EAD中??FAD??EAD，
?AF?AE?∴△FAD≌△EAD（SAS）， ∴DF＝DE， 设DE＝x，则DF＝x， ∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x， ∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°， ∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2， x2＝（3﹣x）2+12， 解得：x＝即DE＝
5， 35． 3【点睛】
本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
2．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=23，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①
11；②4；（2）AD=BC，证明见解析；（3）存在，证明见解析，2239．
【解析】 【分析】
1AB′即可解决问题； 2②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=（2）结论：AD=
1BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证2明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；
（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可； 【详解】
解：（1）①如图2中，
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AB=AB′=AC′， ∵DB′=DC′， ∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， ∴AD=
11AB′=BC， 221． 2故答案为
②如图3中，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′，
11B′C′=BC=4， 22故答案为4．
1（2）结论：AD=BC．
2∴AD=
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M
∵B′D=DC′，AD=DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC，
∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC=AM，
上海东门中学数学几何模型压轴题单元测试题(Word版 含解析)
