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2024年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编

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2024年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编

主编:掌心博阅电子书第 1 页,共 40 页

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本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题对该题型进行了整理编写,涵盖了这一考研科目该题型常考试题及重点试题并给出了参考答案,针对性强,考研复习首选资料。

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因编撰此电子书属于首次,加之作者水平和时间所限,书中错漏之处在所难免,恳切希望广大考生读者批评指正。

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本书由本机构编写组多位高分在读研究生按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息潜心整理编写,仅供考研复习参考,与目标学校及研究生院官方无关,如有侵权请联系我们立即处理。 一、2024年上海财经大学公共经济与管理学院396经济类联考综合能力考研核心题库之工程数学—线性代数解答题精编

?1??1??1??2??1??2??3??4??的秩和一个极大线性无关组,并将其余1. 求向量组?1???,?2???,?3???,?4???1??3??7??10?????????1413???????20?向量用该极大线性无关组线性表示.

【答案】将所给列向量构成矩阵A,然后实施初等行变换:

112??1112?234??0122?????青岛掌ю心博阅电子书

3710??0268????41320??031218??1112??1112??1002??0122??0122??010?2????????, ???0024??0012??0012???????001200000000??????所以,向量组的秩r(?1,?2,?3,?4)?3,向量组的一个极大无关组为:?1,?2,??4?2?1?2?2?2?3.

?1?1(?1?2?3?4)???1??13,且有

??110???2. 已知矩阵A=?430, ???102???(1)求矩阵A的特征值与特征向量;

(2)判断A可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P及相应的对角形矩阵Λ. 【答案】矩阵A的特征多项式为:

??1|?E?A|?4?1?100?(??2)(??1)2,

0??2所以,A的特征值为:?1??2?1,?3?2.

对于?1??2?1,求齐次线性方程组(E?A)x?o的基础解系,

??3第 3 页,共 40 页

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A的对应于特征值

?2?10??101???1???2E?A??4?20???012?,得基础解系:???,从而矩阵?????1???10?1??000????????1??2对于?3??1???2?1的全部特征向量为:c???,(c≠0). ?1????2,求齐次线性方程组(2E?A)x?o的基础解系,

?3?10??100??0??02E?A??4?10???010?,得基础解系:???,从而矩阵A的对应于特征值?3?2?????1???100??000????????0???(c?0).

的全部特征向量为:c0???1???因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量,所以,A不能相似于对角矩阵.

3. 设向量组?1,?2,...,?s线性无关,证明:向量组

?1,?1??2,?1??2??3,...,?1??2?...??s也线性无关.

【答案】令

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?...?ks(?1??2?...??s)?o,

整理得:

(k1?k2?...?ks)?1?(k2?k3?...?ks)?2?...?(ks?1?ks)?s?1?ks?s?o 因为?1,?2,...,?s线性无关,所以

?k1?0?k1?k2?...?ks?1?ks?0?k?0?k2?k3?...?ks?02?????....................................,解得:?..........,

?k?0?ks?1?ks?0?s?1?ks?0???ks?0?故?1,?1??2,?1??2??3,...,?1??2?...??s线性无关.

4. 设向量组

?1?(1,1,2,3)T,?2?(1,?1,1,1)T,?3?(1,3,3,5)T,?4?(4,?2,5,6)T,

?5?(?3,?1,?5,?7)T。试求它的秩及一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示。 【答案】对向量组?1,?2,?3,?4,?5作如下的初等行变换可得:

?11?1?1(?1,?2,?3,?4,?5)???21??31?1?3??1114?3????3?2?1??0?22?62?? ??0?11?31?35?5???0?22?62??56?7????4第 4 页,共 40 页

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4?3??1021?2????1?13?1??01?13?1??青岛掌?心博阅电子书 ???000000000?????0000???00000?从而?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组为?1,?2,故秩{?1,?2,?3,?4,?5}=2

且?3?2?1??2,?4??1?3?2,?5??2?1??2

?1?0???0??0?111?x5. 求行列式

1111111?y1的值.

11111?x1111?y11?x【答案】

1111?x1111?x11?x?x00=

11?y1111?y1111?y00?y?y0x01?xy10100001000y0011

1?x1?xy00

101001?y01=x2y2.

?x1?x2?a1?6. 已知线性方程组?x2?x3?a2,(1)问常数

?x?x?a3?31a1,a2,a3满足什么条件时,方程组有解?(2)当

方程组有无穷多解时,求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 【答案】(1)对方程组的增广矩阵施以初等行变换:

a1??1?10a1?1?10a1??1?10??01?1a???01?1???01?1?.

aa2?22???????101a??0?11a?a??000a?a?a?3?13?123????由线性方程组有解的充要条件知,当a1?a2?a3?0时,方程组有解,且有无穷多解. (2)将a1?a2?a3?0代入上述矩阵,并施以初等行变换: ?1?10a1??10?1a1?a2??01?1a???01?1?.

a2?2????0000??000?0?????x1?a1?a2?x3原方程组的同解方程组为:?,x3为自由未知量.

?x2?a2?x3令x3=0,得到方程组的一个特解:(a1?a2,a2,0).

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