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2020年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国Ⅲ卷）（含解析）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A??1,2,3,5,7,11?，B??x|3?x?15?，则AB中元素的个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若z(1?i)?1?i，则z?
A.1?i B.1?i C.?i D.i
3．设一组样本数据x1,x2,...,xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2,...,10xn的方差为 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I?t?（t的单位：天）的Logistic模型：I?t??K1?e?0.23?t?53?，其中K为最大确诊病例数.当It??0.95K时，标志
??着已初步遏制疫情，则t?约为（In19?3）
A.60 B.63 C.66 D.69 5.已知sin??sin(??)?1，则sin(??)?
36??3212A. B. C. D.
32236.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若AC?BC?1，则点C的轨迹为 A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 7.设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C:y2?2px(p?0)交于D,E两点，若
OD?OE，则C的焦点坐标为
1
11
A．(,0) B．(,0) C．(1,0) D．(2,0)
42
8.点(0,?1)到直线y?k(x?1)距离的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．2 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A.6+42 B. 4+42 C.6+23 D. 4+23 10.设a?log32，b?log53，c?2，则 3A．a?c?b B. a?b?c C. b?c?a D. c?a?b 11. 在?ABC中，cosC?2，AC?4,BC?3，则tanB? 3A. 5 B.25 C.45 D.85 12. 已知函数f(x)?sinx?1，则 sinxA. f(x)的最小值为2 B. f(x)的图像关于y轴对称 C. f(x)的图像关于直线x??对称 D. f(x)的图像关于直线x?二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?0?13. 若x，y满足约束条件?2x?y?0，则z=3x+2y的最大值为_____.
?x?1??2对称
x2y214.设双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线为y?2x,则C的离心率
ab为______.
exe15. 设函数f?x??，若f??1??，则a=____.
x?a416. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积
为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
2
17.（12分） 设等比数列
?an?满足a1+a2=4，a3-a1=8
（1）求?an?的通项公式；
（2）记sn为数列?log3an?的前n项和. 若sm+sm+1=sm+3，求m.
18.（12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） 2 5 6 7 [0,200] （200,400] 16 10 7 2 25 12 8 0 （400,600] （1） 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率； （2） 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
（3） 若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空
气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的2?2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
空气质量好 空气质量不好 附： 19.（12分）
BB1上，如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，在E,F分别在棱DD1，且2DE?ED1，BF?2FB1，证明：
人次?400 ，
人次>400
（1）当AB?BC时，EF?AC; （2）点
C1在平面AEF内.
3
20.（12分）
已知函数f?x??x3?kx?k2. （1）讨论f?x?的单调性；
（2）若f?x?有三个零点，求k的取值范围. 21.（12分）
x2y215,A,B分别为C的左、右已知椭圆C:?2?1(0?m?5)的离心率为425m顶点.
（1）求C的方程：
（2）若点P在C上，点Q在直线x?6上，且BP?BQ，BP?BQ，求?APQ的面积.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2??x?2?t?t(t为参数且t?1），C与坐标轴交于A，B两点. ?2??y?2?3t?t（1）求AB：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
23. [选修4-5: 不等式选讲] （10分）
4
设a,b,c?R,a?b?c?0,abc?1. （1） 证明：ab?bc?ca?0；
（2） 用max?a,b,c?表示a,b,c中的最大值，证明：max?a,b,c??34.
5
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