我们称
f(?,?)为散射振幅（
eikrf(?,?)r为散射波）。
当入射粒子沿z方向入射，则散射与即
?无关（束、靶都是非极化），
f(?,?)?f(?)
下面我们给出
f(?)的物理意义：
对于渐近解的通量（对单粒子，即为几率流密度）
?i?ik?reikreikrik?r*j?{[e?f(?)]?[e?f(?)]2?rr
eikre?ikr?ik?r*?f(?)]?[e?f(?)]}rr
?[e
ik?r
?k1*?kf(?)??[f(?)e?ikr(1?cos?)?f(?)eikr(1?cos?)]??nr2?r??r
?k2
??r?kn[f(?)eikr(1?cos?)?f*(?)e?ikr(1?cos?)]?0(1)?rr3
?对?微商???对1r项微商????
应注意，我们是在很远地方测量（??0），而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角进行。因此，上式的一些项的贡献可表为
??ikr(1?cos?)eg(?)sin?d?d??
当r很大时，eikr(1?cos?)1g(?)是一光滑函数，这一积分?0比r快。所以包含这一
振荡很快，而
1因子的项?0比
r2快。
可以证明：在远处，对于渐近解的几率流密度
?kf(?)?rj??n??r2
?k'20( （)r3，即z方向）
1
?k而当无位势时，献。
f(?)?0，无散射，仅有沿k方向的平面波。r大处，在渐近区域?对径向通量没贡
在远处，单位时间散射到
(?,?)方向上d?立体角中的几率为
dn?
?k?f(?)212?rsin?d?d?2r
（r2d?为所张立体角对应的面积）
?k?(?,?)?于是
dn??j入d?f(?,?)d??k?f(?,?)d?22?
所以， 散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。而散射总截面为
2?T(k)???(?,?)d???f(?,?)d?
??22??V(r)??E?2?现在问题是要从 出发，求具有r很远处的渐近形式为
eik?reikr?f(?,?)r的解，从而获得
f(?,?)??理(?,?)。
9.2分波法
本节目标：掌握分波法的处理思路，理解光学定理，明确散射截面与相移的关系 重点难点：分波法的处理思路，如何灵活运用关学定理处理问题 本节内容：
本节将给出在中心力作用下粒子散射截面的一个普遍计算方法-分波法。从原则上讲，分波法是一个严格的处理方法，但在实际的应用中，不可能把一切分波都考虑在内，而只能根据具体情况考虑一些重要的分波，因而仍然是一种近似处理。当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。 1．散射截面和相移
当入射粒子方向各向同性。因此，经
k取为z轴，则入射（无自旋）是对?对称，即与?无关，而相互作用势V(r)是
V(r)作用后也与?无关
?k??l?0??l(r)rYl0(?,?)
（k在z方向）
代入方程得
l(l?1)d22?(r)??(r)?k?l(r)?U(r)?l(r)?0ll22drr
U(r)?
其渐近解，在r??时有
2m?2V(r)，
k2?2mE?2
d2 dr2?l(r)?k2?l(r)?0
l???l)2
?
?l(r)????Alsin(kr?Bl)r???Alsin(kr? 所以，在有心势存在时，具有确定k（在z方向）的解为
?k??All?0?sin(kr?l???l)2Yl0(?,?)r
ikr?ikr(?i)lili?le?i?leAle?Ale]Yl0(?,?)2ir2ir? 当位势不存在时，解为
?l?0?
eikz??l?04?(2l?1)ijl(kr)Yl0(?,?)l
sin(kr?l?2)kr
??,kr??l(l?1)jl(kr)?r??????
? 与
eikz4?(2l?1)eikr?[?2kirl?0?4?(2l?1)(?1)le?ikrYl0(?,?)2kir
?k比较，入射波应相同
4?(2l?1)(?1)lil?i?lAle?2i2ki （球面入射波系数应同）
4?(2l?1)ilkei?l
Al?
eikr?r4?(2l?1)(?1)le?ikr]Yl0(?,?)2kir?k????r大时?[l?04?(2l?1)2kie2i?l
显然，对每一个分波l，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加，但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差－相因子e2i?l。
这表明：散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移
?l，相应于相因子为e2i?l。
因 所以，散射振幅
?k(r)?eikzeikr?fk(?)r
fk(?)?4?k?l?0?2l?12i?l(e?1)Yl0(?,?)2i
?
散射微分截面
4?k?l?0?2l?1ei?lsin?lYl0(?,?)
?k(?)?
4?k2ll'?0??(2l?1)(2l'?1)ei(?l??l')sin?lsin?l'Yl0Yl*'0
?T??k(?)d???
24?k?(2l?1)sinl?0?2?l
4?2(2l?1)sin?l2其中每一项k代表相应的角动量为l的分波对散射截面的贡献
?l?
4?(2l?1)k2
当
?l?(n?)?12 （n?0,1,2,?），达极大。
与散射振幅比较得
这称为光学定理。 2．一些讨论
1．分波法的适用性 a. 中心力场 b.
?T?4?Imfk(0)k
Yl0(0,?)?
2l?14?
?l不为0的数要少，即
?(?)或?T对l的收敛很快才行。
r若相互作用力程为0，处于分波l的粒子，其运动区域
第9章_散射理论
