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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题 :1 ～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 .
．．．
1、设函数 f ( x) 在（- ,+ 如下图所示，则曲线 y
）连续，其 2 阶导函数
f ( x) 的
f (x) 的图形
拐点个数为（）
（A）0 （C）2 【答案】 (C)
（B）1 （D）3
【考点】拐点的定义 【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于 数异号，因此，由
0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
f (x) 的图形可知，曲线 y f ( x) 存在两个拐点，故选
(C).
2、设 y
1 e2 x 2
x
13
ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程
y ay
by cex 的一个特解，
则（） （ A） a （ C） a
3, b 3,b
1,c 2, c
1.
1. （ B） a 3,b 2, c 1.
（ D） a 3, b 2, c 1.
【答案】 (A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
1 e2x , 1 ex 为齐次方程的解，所以 2
3
2、 1 为特征方程
2 +a
b 0 的根，从而
a1 2 3,b 1 2 2, 再将特解 y
. . .
xex 代入方程 y 3y 2 y cex 得： c 1.
.
3、若级数
an 条件收敛，则 x
3 与 x
3 依次为幂级数
n 1
nan x 1 n 的：
n 1
（ A）收敛点，收敛点 （ C）发散点，收敛点 【答案】 (B)
（ B）收敛点，发散点 （ D）发散点，发散点
【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
n 1
an 条 件 收 敛 ， 故 x 2为幂级数
n
an x 1 n 的 条 件 收 敛 点 ， 进 而 得
1
an x 1 n 的收敛半径为 1，收敛区间为
n 1
0,2 ，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
nan x 1 n 的收敛区间仍为
n 1
0,2 ，因而 x
3 与 x 3 依次为幂级数
n 1
nan x 1
n
的收敛
点、发散点 .
4、设 D 是第一象限中曲线 在 D上连续，则
2xy
1,4 xy 1 与直线 y x, y
3x 围成的平面区域， 函数 f ( x, y)
D
( , )
f x y dxdy
2
（ A）
d
1 sin 2 1
2
f ( r cos , r sin )rdr
（ B）
d
4
3
2sin 2
4
（ C）
d
1
sin 2 1
3 4
f (r cos , r sin )dr
（ D）
d
1 sin 2 1
2sin 2
1 sin 2
f (r cos ,r sin ) rdr
4
2sin 2
1
2sin 2
f (r cos , r sin )dr
【答案】 (D)
【考点】二重积分的极坐标变换
【难易度】★★★ 【详解】由 y
x 得，
4
；由 y 3x 得，
3
1, r
由 2xy
1 得， 2r 2 cos sin
1 sin 2
由 4xy
1 得， 4r 2 cos sin
1, r
1 2sin 2
. . .
3 4
1 sin 2
1 2sin 2
.
所以
D
f ( x, y)dxdy
d f (r cos , r sin )rdr
1 1 1 1
5、设矩阵 A1
2 a ， b d ，若集合
{1,2} ，则线性方程组
Ax b 有无穷多个
1 4 a2
d 2
解的充分必要条件为
（ A） a , d
（ B） a , d
（ C） a , d
（ D） a
, d
【答案】 (D)
【考点】非齐次线性方程组的解法
【难易度】★★
1
1 1 1 1 1 1 1 【详解】
A, b
1
2 a
d 0
1
a 1
d 1
d 2
1 4 a2
0 0 a 1 a 2
d 1 d 2
Ax b 有无穷多解
R( A)
R( A,b) 3
a 1或 a
2 且 d 1 或 d 2
6、设二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x Py 下的标准形为 2y12 y22 y32 ，其中
P (e1 ,e2 , e3 ) ，若 Q (e1 , e3 , e2 ) ，则 f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 x Qy 下的标准形为
（ A） 2y12
y22 y32
（ B） 2y12 y22 y32 （ C） 2y12 y22 y32
（ D） 2y12
y22
y32
【答案】 (A) 【考点】二次型 【难易度】★★
2 0【详解】由 x
Py ，故 f
xT Ax yT (PT AP ) y 2y12 y22
y32 且： PT AP 0 1
0 0
. . .
0 0 1
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