分数的速算与巧算
【专题解析】
在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。
（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。
（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】
例1. 计算：（1）56819÷8 （2）16620÷41
分析与解：（1）直接把56889拆写成（56+9），除以一个数变成乘
以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。（2）把题中的166120分成
41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。
（1）5689÷8＝（56+89）÷8＝（56+89）×18＝56×18+819×8＝7+
119＝79 （2）166
11141120÷41 = (164 +4120)×41= 164×41+20×41=
4
120 【举一反三】
计算：（1）64
817÷8 （2）145
57÷12 （3）5425÷17 （4）170112÷13
例2. 计算：2004?200420042005?12006 分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母2004?2005?2004，这算式可以运用乘法分配律等于2004?2006，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出
2004?200520042005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到1?112005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 原式=2004?2004?200612005?2006
1
=2004?200512004?2006?2006 ?200512006?2006 ?1【举一反三】
计算：（5）2000÷2000200012001+2002 （6）238÷
2382381239+240
例3. 计算：
1993?1994?11993?1992?1994
分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子
变形。1993×1994-1 =（1992+1）×1994-1 = 1992×1994+1994-1 = 1992×1994+1993，这样使原式的分子、分母相同，从而简化计算。
1993?1994?11992?1)?1994?11993?1992?1994 =
(1993?1992?1994 =
1992?1994?19931993?1992?1994 = 1
【举一反三】
计算：（7）
2012?2013 -12012 ?2011?2013
（8）
1988?1989?19871988?1989?1
例4. 计算： （1）128128161616323232×256256 （2）
2007?20072007?2007200720072005?20052005?200520052005
分析与解：根据算式中各数的特点，变形后再约分计算。 （1）128128323232×161616256256＝128?100132?10101×16?10101256?1001＝14
（2
）
2007?20072007?2007200720072005?20052005?200520052005＝
2007?2007?10001?2007?1000100012005?2005?10001?2005?100010001
＝2007?﹙1?10001?100010001﹚2005?﹙1?10001?100010001﹚＝20072005
【举一反三】 计算： （9）
484848254254÷242424127127 （10）
25?2525?25252536?3636?363636
2
例5. 计算：
12+14+18+116+11132+64+128 分析与解：此题的解法有两种。
第一种方法：观察上面的算式发现，2个111128相加得64，2个
64相加得132，2个1132相加得16，……，因此，在原算式中可以先“借”
来一个1111128，最后再“还”一个128，构造一个128+128，使计算
简便。（过程略）
第二种方法：设S＝11111112+4+8+16+32+64+128，则2S＝1
＋12+111114+8+16+32+64 两式相减得：2S－S＝（1＋1111112+4+8+16+32+64）－
（12+14+18+116+132+164+1128） S＝1－1128
即12+14+18+116+132+164+1127128＝128 （即错位相减法） 【举一反三】
计算： （11）112＋4＋18＋116＋132＋164 （12）1＋
13
＋16＋112＋11124＋48＋96
（13）1111113＋9＋27＋81＋243＋729 （14）115＋11125＋125＋625＋3125
例6. 计算：（1＋
112＋
3＋14）×（
112＋
13＋14＋
5）－（1＋12＋
13＋14＋
115）×（2＋
13＋14） 分析与解：本题就是设数法解题的典型，可设：1＋
12＋13＋14＝a，
12＋13＋14＝b.则： 原式＝a（b＋15）－（a＋11115）b＝ab＋5a－ab－5b＝5（a
－b）＝15
【举一反三】
3
计算：（15）（
12＋111113＋4＋5）×（3＋4＋
1＋1156）－（
2＋
13＋14＋15＋16）×（13＋14＋15）
（16）（
18＋19＋110＋111）×（19＋110＋111＋112）－（18＋19＋110＋111111＋12）×（9＋10＋111）
4
分数的巧算和速算
