专题三 几何图形的折叠与动点问题
类型一 与特殊图形有关
(2024·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．
【分析】 当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论． 【自主解答】 当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB＝BC－AC，∴AB＝8－4＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.
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图①
图②
1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折
叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．
3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．
4．(2024·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．
5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．
6．(2024·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．
7．(2024·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．
8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD为等腰三角形时，AP的长为______．
9．(2024·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．
类型二 点的位置不确定
(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．
【分析】 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案． 【自主解答】 由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN＝x，得B′E＝x＋1.ENB′Exx＋124由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x＝，BE＝B′E＝
B′MAB′235
2
2
2
2
435
＋1＝； 55
2ENB′Exx＋4
②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN＝x，得B′E＝x＋2，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝，
B′MAB′1312
解得x＝，BE＝B′E＝
2
1．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使D点落在BC边上的点E处，折痕为GH.若点E是BC的三等分点，则线段CH的长是_______．
1323235＋4＝，故答案为：或. 2225
2．(2024·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．
3．(2015·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．
4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．
6．(2024·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．
7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．
类型三 根据图形折叠探究最值问题
如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．
【分析】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE－A′E即可求出结论．
例3题解图
【自主解答】 以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小11
值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
22∴CE＝BE＋BC＝10，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.
1．(2024·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．
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2．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB边上的点，AE＝5，点P在AD边上，将△AEP沿EP折叠，使得点A落在点A′的位置，如图，当A′与点D的距离最短时，△A′PD的面积为________．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D取得最小值时，tan∠BEF的值为__________．
4．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是
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