2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若反常积分A.a?1且b?1B.a?1且b?1C.a?1且a?b?1D.a?1且a?b?1（2）已知函数f(x)??
?
+?
0
1
。dx收敛，则（）abx(1?x)
?2(x?1),x?1
，则f(x)的一个原函数是（）。?lnx,x?1
?(x?1)2,x?1
A.F(x)??
?x(lnx?1),x?1?(x?1)2,x?1B.F(x)???x(lnx?1)?1,x?1?(x?1)2,x?1C.F(x)???x(lnx?1)?1,x?1?(x?1)2,x?1D.F(x)???x(lnx?1)?1,x?1（3）若y?(1?x)?1?x,y?(1?x)?1?x个解，则q(x)=（A.3x(1?x)B.?3x(1?x)
22
22
222
2是微分方程y'?p(x)y?q(x)的两）。x
1?x2xD.?
1?x2C.?x,x?0?
（4）已知函数f(x)??11，则（）。1
?x?n?L,,1,2,?n?nn?1A.x?0是f(x)的第一类间断点B.x?0是f(x)的第二类间断点C.f(x)在x?0处连续但不可导D.f(x)在x?0处可导（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A.A与B相似B.A与B相似C.A?A与B?B相似D.A?A与B?B相似22
（6）设二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f(x1,x2,x3)?2在?1
?1
T
T
?1
?1
T
T
）。空间直角坐标系下表示的二次曲面为（A.单叶双曲面B.双叶双曲面）。C.椭球面D.柱面（7）设随机变量X~N(?,?)(??0)，记p?P{X????}，则（2
2
）。A.p随着?的增加而增加B.p随着?的增加而增加C.p随着?的增加而减少D.p随着?的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为1
，将3
试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验A2发生的次数，则X于Y的相关系数为（A.B.C.D.二、填空题，9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答疑纸指定位置上.）。?（9）lim
x??
x
0tln(1?tsint)dt1?cosx2?________________.（10）向量场A(x,y,z)?(x?y?z)i?xyj?zk的旋度rotA?________________.（11）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)由方程(x?1)z?y?xf(x?z,y)确定，则2
2
dz|(0,1)?________________.（12）设函数f(x)?arctanx?
x
，且f''(0)?1，则a?________________.21?ax??1000??10
?________________.（13）行列式00??1432??1
（14）设x1,x2,L,xn为来自总体X~N(?,?)的简单随机样本，样本均值x?9.5，参数?2
的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8，则?的置信度为0.95的双侧置信区间为________________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知平面区域D?{(r,?)|2?r?2(1?cos?),?
?????}，计算二重积分??xdxdy.22D（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y''?2y'?ky?0，其中0?k?1.（Ⅰ）证明：反常积分?
??0y(x)dx收敛；（Ⅱ）若y(0)?1,y'(0)?1，求（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足?
??0y(x)dx的值.?f(x,y)
且f(0,y)?y?1，Lt是从点(0,0)到点(1,t)?(2x?1)e2x?y，?x的光滑曲线，计算曲线积分I(t)?（18）（本题满分10分）?
Lt
?f(x,y)?f(x,y)
dx?dy，并求I(t)的最小值.?x?y
设有界区域?由平面2x?y?2z?2与三个坐标平面围成，?为?整个表面的外侧，计算曲面积分I?
??
?(x2?1)dydz?2ydzdx?3zdxdy.（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)?1,0?f'(x)?证明：（Ⅰ）级数1
.设数列{xn}满足xn?1?f(xn)(n?1,2,L)，2
?(x
n?1
?
n?1
?xn)绝对收敛；（Ⅱ）limxn存在，且0?limxn?2.n??
n??
（20）（本题满分11分）2??1?1?1??2
????
设矩阵A?2a1,B?1a????.??11a???a?1?2?????
当a为何值时，方程AX?B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程.（21）（本题满分11分）?0?1?1???
已知矩阵A?2?30??
?000???
（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设3阶矩阵B?(?1,?2,?3)满足B?BA.记B
2
100
99
?(?1,?2,?3)，将?1,?2,?3分别表示成?1,?2,?3的线性组合.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|0?x?1,x2?y?
x}上服从均匀分布，令?1,X?Y
U??
?0,X?Y
（Ⅰ）写出(X,Y)的概率密度；（Ⅱ）问U与X是否相互独立？并说明理解；（Ⅲ）求Z?U?X的分布函数F(z).（23）（本题满分11分）?3x2
,0?x???
，其中??(0,??)为未知参数，设总体X的概率密度为f(x,?)???3?0,其他?X1,X2,X3为总体X的简单随机抽样，令T?max(X1,X2,X3).（Ⅰ）求T的概率密度；（Ⅱ）确定a，使得aT为?的无偏估计.
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)
