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2020年考研数学三真题与及解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数
?1?cosx,x?0?在x?0处连续，则 f(x)??ax?b,x?0?22（A）ab?1（B）ab??1（C）ab?0（D）ab?2
1x1?cosx12【详解】xlim，xlimf(x)?b?f(0)，要使函数在f(x)?lim?lim??0??0?x?0?x?0?axax2a11?b?ab?．所以应该选（A） x?0处连续，必须满足2a22．二元函数z?xy(3?x?y)的极值点是（ ）
（A）(0,0) （B）(0,3) （C）(3,0) （D）
(1,1)
【详解】?z?y(3?x?y)?xy?3y?2xy?y2，?z?3x?x2?2xy，
?x?y?2z?2z?2z?2z??2y,2??2x,??3?2x ?x2?y?x?y?y?x??z2?3y?2xy?y?0??x解方程组?，得四个驻点．对每个驻点验证AC?B2，发??z??3x?x2?2xy?0???y现只有在点(1,1)处满足AC?B2?3?0，且A?C??2?0，所以(1,1)为函数的极大值点，所以应该选（D）
3．设函数f(x)是可导函数，且满足f(x)f?(x)?0，则
（A）
f(1)?f(?1)f(1)?f(?1) （B）f(1)?f(?1) （C）
f(1)?f(?1) （D）
【详解】设g(x)?(f(x))2，则g?(x)?2f(x)f?(x)?0，也就是?f(x)?2是单调增加
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函数．也就得到?f(1)?2??f(?1)?2??n?2f(1)?f(?1)，所以应该选（C）
11?sin?kln(1?)?收敛，则k?（ ） 4． 若级数????nn?（A）1 （B）2 （C）?1 （D）
?2
?11?1?2??1?1111k1?1?【详解】ivn??时sin?kln(1?)??k???????o?2??(1?k)?o?2? 2??nnnn2n?n??n2?n???n?显然当且仅当(1?k)?0，也就是k??1时，级数的一般项是关于1的二阶
n无穷小，级数收敛，从而选择（C）．
5．设?为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）E???T不可逆 （B）E???T不可逆 （C）E?2??T不可逆 （D）E?2??T不可逆 【详解】矩阵
??T的特征值为
1和
n?1个
0，从而
E???T,E???T,E?2??T,E?2??T的特征值分别为0,1,1,L1；2,1,1,L,1；?1,1,1,L,1；
． 3,1,1,L,1．显然只有E???T存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）
?200??210??100??????021B?020C?0206．已知矩阵A??，，??????，则 ?001??001??002???????
（A）A,C相似，B,C相似 （B）A,C相似，B,C不相似 （C）A,C不相似，B,C相似 （D）A,C不相似，B,C不相似 【详解】矩阵A,B的特征值都是?1??2?2,?3?1．是否可对解化，只需要关心??2的情况．
?000???2E?A??00?1?，对于矩阵A，秩等于
?001???1 ，也就是矩阵A属于特征值??2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．
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?0?10???2E?B??000?，对于矩阵B，秩等于
?001???2 ，也就是矩阵A属于特征值??2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）．
7．设A,B，C是三个随机事件，且A,C相互独立，B,C相互独立，则AUB与C相互独立的充分必要条件是（ ）
（A）A,B相互独立 （B）A,B互不相容 （C）AB,C 相互独立 （D）AB,C互不相容 【详解】
P((AUB)C)?P(AC?AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(ABC) P(AUB)P(C)?(P(A)?P(B)?P(AB))P(C)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(AB)P(C)
显然，AUB与C相互独立的充分必要条件是P(ABC)?P(AB)P(C)，所以选择（C ）． 8．设
X1,X2,L,Xn(n?2)为来自正态总体N(?,1)的简单随机样本，若
1nX??Xini?1，则下列结论中不正确的是（ ）
n（A）?(Xi??)2服从?2分布 （B）2?Xn?X1?2服从?2分布
i?1 （C）?(Xi?X)2服从?2分布 （D）n(X??)2服从?2分布
i?1n解：（1）显然(Xi??)~N(0,1)?(Xi??)2~?2(1),i?1,2,Ln且相互独立，所以
?(Xi?1ni??)2服从?2(n)分布，也就是（A）结论是正确的；
n（2）?(Xi?X)i?12?(n?1)S?2(n?1)S2?2~?2(n?1)，所以（C）结论也是正确的；
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