的判别式???m?31??431m?m2?2???31?m??31?5m??0.
31. 5又因为a,b是正整数，所以a?b?31?m?0，从而可得0?m?又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有m?6符合要求. 把m?6代入,得ab?31m?m?150.
第二试（B）
一、（本题满分20分）已知t?立，求ab的值.
解：因为t?若正整数a,b,m,使?at?m??bt?m??17m成2?1，
22?1，所以t2?3?22.由?at?m??bt?m??17m，得
abt2?m?a?b?t?m2?17m?0，将t2?3?22代入，得
ab3?22?m?a?b????2?1?m2?17m?0，
?2整理得??m?a?b??2ab???2???3ab?m?a?b??m?17m???0
因为a,b,m是正整数，2是无理数，所以??m(a?b)?2ab?0 2?3ab?m(a?b)?m?17m?0??a?b?2?17?m?于是可得?
2??ab?17m?m因此a,b是关于x的一元二次方程x?2(m?17)x?17m?m?0的两个正整数根， 该方程的判别式??4?m?17??417m?m222?2??4?17?m??17?2m??0.
17 2又因为a,b,m是正整数，所以a?b?2?17?m??0，从而可得0?m?又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有m?8符合要求. 把m?8代入,得ab?17m?m?72.
2二、（本题满分25分）在?ABC中，AB?AC，O、I分别是?ABC的外心和内心，且满足AB?AC?2OI, 求证： （1）OI∥BC;
（2）S?AOC?S?AOB?2S?AOI .
证明:（1）过点O作OM?BC于M，过点I作IN?BC于N，
则OM∥IN,设BC?a,AC?b,AB?c，由O、I分别是?ABC的外心和内心，得
CM?111a,CN?(a?b?c)，所以MN?CM?CN?(c?b)?OI， 222又MN恰好是两条平行线OM,IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM,IN之间的垂线段，所以OI∥MN，所以OI∥BC.
（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI,CI，设OM?IN?r（即为?ABC的内切圆半径），则S?AOC?S?AOB??S?AOI?S?COI?S?AIC???S?AIB?S?AOI?S?BOI?
?2S?AOI?S?BOI?S?COI?S?AIC?S?AIB?2S?AOI?1???2S?AOI?r??OI?(b?c)??2S?AOI2??1111?OI?r??OI?r??AC?r??AB?r22221?1??r??(c?b)?(b?c)??2S?AOI.2?2?222?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2? 三、（本题满分25分）若正数a,b,c满足?????????3
2bc2ca2ab??????b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2??求代数式的值.
2bc2ca2ab解：由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设0?a?b?c. （1）若c?a?b，则c?a?b?0,c?b?a?0，从而，得
c?b??a??c?a??b?1, b2?c2?a2c2?a2?b2?1??1,?1?2bc2bc2ca2ca2222?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2?a2?b2?c2?a?b??c??1??1,故?????????3，
2bc2ca2ab2ab2ab??????22222这与已知条件矛盾.
（2）若c?a?b，则0?c?a?b,0?c?b?a，从而，得
c?b??ac?a??b??b2?c2?a2c2?a2?b20??1??1,0??1??1,
2bc2bc2ca2ca2222?a?b??c?1, a2?b2?c2?a?b??ca2?b2?c2??1??1,0??1?2ab2ab2ab2ab2222?b2?c2?a2??c2?a2?b2??a2?b2?c2?故?????????3，这与已知条件矛盾.
2bc2ca2ab??????综合（1）（2）可知,一定有c?a?b.
222b2?c2?a2b2?(a?b)2?a22b2?2ab于是可得??2?1,
2bc2b(a?b)2b?2abc2?a2?b2a2?b2?c2??1. ?1,同理可得
2ab2cab2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2???1. 故
2bc2ca2ab
-2013年全国初中数学联赛试题及详解
