【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=
AD、BD=
AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．
【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°， ∴∠CAD=60°，∠BAD=30°， ∴CD=AD?tan∠CAD=∴BC=CD﹣BD=∴AD=15
≈．
AD，BD=AD?tan∠BAD=
AD，
AD=30，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=
23．（分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
AD、BD=
AD是解题的关键．
【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论． 【解答】解：（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD，
∴∠D=∠ABC=30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，
连接OA，∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°，
∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°， ∴OA⊥AD， ∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）连接OA，∵∠AEC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵BC⊥AE于M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在Rt△AOM中，AM=OA?sin∠AOM=4×sin60°=2∴AE=2AM=4
．
，
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．
24．（分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=因为y=列表： x
… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣
的图象与性质．
，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．
1 2 3 4 …
y=﹣ … y=
…
1 2
2 3
4 5
﹣4 ﹣1 1 ﹣ ﹣ … ﹣3 ﹣1 0
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
相应的函数
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”） ②y=
的图象是由y=﹣的图象向 上 平移 1 个单位而得到；
③图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标） （3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=求y1+y2+3的值．
的图象上的两点，且x1+x2=0，试
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题；
（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）函数图象如图所示：
（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大； ②y=
的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标） 故答案为增大，上，1，（0，1）
（3）∵x1+x2=0， ∴x1=﹣x2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称， ∴y1+y2=2， ∴y1+y2+3=5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
2018年郴州市中考数学试卷及答案解析
