长汀县龙山中学数学 二次函数综合测试卷（word含答案）
一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
21．对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得ax0+（b+1）x0+b﹣2
＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点． （1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，且直线y＝﹣x+直平分线，求实数b的取值范围．
【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a的取值范围是0＜a＜2；（3）b的取值范围是﹣
12a?12是线段AB的垂
2≤b＜0． 4【解析】 【分析】
（1）将a＝2，b＝﹣2代入函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），得y＝2x2﹣x﹣4，然后令x＝2x2﹣x﹣4，求出x的值，即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；
（2）对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）时，对于任何实数b都有△＞0，然后再设t＝△，即可求得a的取值范围；
（3）根据y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的图象上A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点，可知点A和点B均在直线y＝x上，然后设出点A和点B的坐标，从而可以得到线段AB的中点坐标，再根据直线y＝﹣x+直平分线，从而可以求得b的取值范围． 【详解】
解：（1）当a＝2，b＝﹣2时， 函数y＝2x2﹣x﹣4， 令x＝2x2﹣x﹣4， 化简，得x2﹣x﹣2＝0 解得，x1＝2，x2＝﹣1，
即y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点是﹣1或2； （2）令x＝ax2+（b+1）x+b﹣2， 整理，得 ax2+bx+b﹣2＝0，
∵对于任何实数b，函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b2﹣4a（b﹣2）＞0，
12a2?1是线段AB的垂
设t＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a，对于任何实数b，t＞0， 故（﹣4a）2﹣4×1×8a＜0， 解得，0＜a＜2，
即a的取值范围是0＜a＜2； （3）由题意可得， 点A和点B在直线y＝x上， 设点A（x1，x1），点B（x2，x2），
∵A，B两点的横坐标是函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点， ∴x1，x2是方程ax2+bx+b﹣2＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣
b， ax1?x2x?x，12）， 22∵线段AB中点坐标为（∴该中点的坐标为（?∵直线y＝﹣x+∴点（?∴?bb，?）， 2a2a是线段AB的垂直平分线，
12a?121bb，?）在直线y＝﹣x+2上， 2a2a2a?1b1b?2＝
2a2a2a?1a2a?12∴﹣b＝
?a22a2＝22，（当a＝时取等号） 42∴0＜﹣b≤
2， 4∴﹣
2≤b＜0， 42≤b＜0． 4即b的取值范围是﹣【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．在平面直角坐标系中，将函数y?2x?6mx?m(x?3m,m为常数)的图象记为G．
（1）当m??1时，设图象G上一点P?a,1?，求a的值； （2）设图象G的最低点为F?xo,yo?，求yo的最大值；
（3）当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x2,则x2的取值范围是 ；
（4）设A?2m,的取值范围．
??1??11?,B2m?,?，当图象G与线段AB没有公共点时，直接写出m??16??816?【答案】（1）a?0或a??3；（2）
1111；（3）??x2??；（4）m??或18368m??1 16【解析】 【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P坐标代入解析式，从而求得a的值； （2）分m＞0和m≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】
解：（1）当m??1时，y?2x?6x?1?x?3?
2把P?a,1?代入，得
2a2?6a?1?1
解得a?0或a??3 （2）当m?0时，F(3m,?m) 此时，yo??m?0
当m?0时，y?2x?6mx?m=2(x?∴F?23292m)?m?m 229?3?m,?m2?m?
2?2?此时，?92911m?m=?(m?)2? 229181 181 1822∴y0的最大值?综上所述，y0的最大值为
（3）由题意可知：当图象G与x轴有两个交点时，m＞0
当抛物线顶点在x轴上时，△=b?4ac?(?6m)?4?2?(?m)=0 解得：m=0（舍去）或m??2 93由题意可知抛物线的对称轴为直线x=m且x≥3m
2∴当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x2，则x2的取值范围是
长汀县龙山中学数学 二次函数综合测试卷(word含答案)
