集合基本题型
题型一：集合的判断 集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合A 给定，若有一具体对象x，则x要么是A的元素，要么不是A的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合A给定，A的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程x?1?0;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
2A.② B.① ③ C.② ④ D.① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。 ①③④不符合集合元素的确定性特征。 答案: A
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。 ① 很小两实数可以构成集合；
2② {y|y?x?1}与{(x,y)|y?x?1}是同一集合
2③ 1,361,,?,0.5这些数组成的集合有5个数； 242④ 集合{(x,y)|xy?0,x,y?R}是指第二、四象限内的点集；
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数y?x?1的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：
2361?,??0.5，所以集合有3个数，③不对； 242④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性xy?0，第二、四象限内的点集的公共属性应为xy?0，xy?0包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、x?R,则{3,x,x?2x}中的元素x应满足什么条件？
2?x?3?2解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足?x?2x?3，解不
?x2?2x?x?等式组即得答案。
?x?3?答案: ?x??1
?x?0?题型二： 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于(?)”或“不属于(?)”。 例4、下列表述是否正确，说明理由。 ⑴Z?{全体整数} ⑵R?{实数集}?{R}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而{R}表示以实数集为元素的集合，它与R的关系是R?{R}。 答案: ⑴Z?{整数}，⑵R?{实数}。 题型三： 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x?Ip(x)}，这表示在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
①{(x,y)|0?x?2,0?y?2,x,y?Z} ；
②
M?{0,1,2},P?{x|x?a?b,a,b?M,a?b}?___________;
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ； ②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。 答案：
⑴①{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}； ②P?{0,1,2,3,4} ⑵①{x|x?2k,k?N} ②{x|x?9k?2,k?Z} 例6、指出下列集合的元素：
*⑴{xax2?bx?c?0,a?0,x?R}； ⑵{ax2?bx?c?0a?0,b2?4ac?0}； ⑶{xy?2x?1}；
⑷{yy?2x2?1}。
解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素x是函数的自变量，⑷的元素y是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素x所满足的共同属性为ax?bx?c?0,a?0,x?R
2⑵元素ax?bx?c?0易错点所满足的共同属性为a?0,b?4ac?0，,故元素是有
22实根的一元二次方程；
⑶元素x所满足的共同属性为y?2x?1，即函数y?2x?1中自变量x所能取到
的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为x?义域中的所有实数；
1，故元素为函数y?2x?1的定22⑷元素y所满足的共同属性为y?2x?1，即函数y?2x?1中函数值y所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到y??1，所以元素为函数y?2x?1的值域中的所有实数。
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人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《集合》基本题型及即时练习
