?13?所以3x＋4y＝(3x＋4y)?＋? ?5y5x?
943x12y13＝＋＋＋≥＋2 555y5x53x＋4y的最小值是5.
角度3 利用消元法求最值
例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则2的最大值为( )
A．8 1C. 8答案 C
解析 因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以2＝＝
B．2 1
D. 6
3x12y13121·＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故5y5x552
acbacbac2a＋c2
ac1
≤2＝
4a＋4ac＋c4ac＋＋42ca2
1ac＝，当且仅当c＝2a>0时等号成立，即2的最大8b4ac·＋41
ca1
值为.故选C.
8
516x－28x＋11
(2)已知x>，则函数y＝的最小值为________．
44x－5答案 5
2
t2＋3t＋111
解析 令4x－5＝t，则x＝(t>0)，∴y＝＝t＋＋3(t>0)，又t＋≥2(当
4tttt＋5
且仅当t＝1时，取“＝”)，∴y的最小值为5.
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b＋
xyab3ba的最小值为________． 答案 6
xy11a解析 因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以＋＝1，所以b＝>0，所以a>1，
ababa－1
3b43b所以a＋b＋＝(a－1)＋＋2≥4＋2＝6，当且仅当a＝3时等号成立，所以a＋b＋的
aa－1a最小值是6.
考向二 求参数值或取值范围
?1a?例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x＋y)·?＋?≥9对任意正实数x，y恒成
?xy?
立，则正实数a的最小值为( )
A．2 C．6 答案 B
B．4 D．8
xyxy?1a?2
解析 (x＋y)?＋?＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)，当且仅当a·＝，即
?xy?
yxyxax2＝y2时“＝”成立．
?1a?∵(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立， xy?
?
∴(a＋1)≥9.
∴a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B.
1122
(2)当0 2m1－2mA．[－2,0)∪(0,4] C．[－4,2] 答案 D 111?2m＋1－2m?21 解析 因为0 2222??112?当且仅当2m＝1－2m，即m＝1时取等号?，所以1＋2＝2 ≥8.又＋≥k－??4m1－2mm1－2mm1－2m??2k恒成立，所以k－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]．故选D. (1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． 22 B．[－4,0)∪(0,2] D．[－2,4] (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围． 11k[即时训练] 4.设a>0，b>0且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于 aba＋b( ) A．0 C．－4 答案 C 11k解析 由＋＋≥0得k≥－ aba＋bB．4 D．－2 a＋bab2 a＋b，又 ab2 2 ＝＋＋2≥4(当且仅当a＝b恒成立，应有k≥－4，即实数 abbaa＋b时取等号)，所以－ abk的最小值等于－4.故选C. 2 a＋b≤－4，因此要使k≥－ ab5．(2019·珠海模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为( ) A．2 C．6 答案 C B．4 D．8 x＋3y?2?解析 解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤??，当且仅当?2?x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.故x＋3y的最小值为6. 解法二：∵x＋3y＝9－xy≥23xy，∴(xy)＋23·xy－9≤0，∴(xy＋33)(xy－3)≤0， ∴0 例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，12 需另投入成本为C(x)(万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x；当年产量不小于80 310000 千件时，C(x)＝51x＋－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的 2 x商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品的销售额为0.05×1000x万元， 依题意得， 12?12?当0 ? x??x? 1 －x＋40x－250，0 所以L(x)＝? ?x＋10000?，x≥80.1200－???x??? 2 12 (2)当0 3则当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元； 10000??x＋当x≥80时，L(x)＝1200－?≤1200－2x??? x· 10000 x＝1200－200＝ 10000?，即x＝100时取等号?1000?当且仅当x＝ ?，则当x＝100时，L(x)取得最大值1000万元． ? x? 由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元． 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－ km＋1 (k为常数)，如果不搞促销 活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m＝0时，x＝1， ∴1＝3－k?k＝2，∴x＝3－ 2 ， m＋1 8＋16x每件产品的销售价格为1.5×(元)， x∴2020年的利润y＝1.5x×＝4＋8x－m＝4＋8?3－＝－? 8＋16x－8－16x－m x?? 2?－m m＋1?? ?16＋m＋1?＋29(m≥0)． ? ?m＋1? 16 ＋(m＋1)≥216＝8， m＋1 (2)∵当m≥0时， ∴y≤－8＋29＝21， 当且仅当 16 ＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)． m＋1 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． a4＋4b4＋1 若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． ab答案 4 解析 ∵a＋4b≥2a·2b＝4ab(当且仅当a＝2b时“＝”成立)， 4 4 2 2 22 2 2 a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋， ababab1由于ab>0，∴4ab＋≥2 ab1 4ab·＝4 ab?当且仅当4ab＝1时“＝”成立?， ??ab?? a＝2b，??故当且仅当?1 4ab＝?ab? 答题启示 利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也 2 2 a4＋4b4＋1 时，的最小值为4. ab
2021高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式学案(含解析)北师大版
