第4讲 基本不等式
基础知识整合
1．重要不等式
a2＋b2≥012ab(a，b∈R)(当且仅当02a＝b时等号成立)．
2．基本不等式ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：03a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当04a＝b时等号成立； (3)其中
a＋b2
叫做正数a，b的05算术平均数，ab叫做正数a，b的06几何平均数． 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当07x＝y时，x＋y有08最小值2P.(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当09x＝y时，xy有10最大值.(简记：“和定积最大”)
4
1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)； (2)ab≤?
S2
?a＋b?2(a，b∈R)；
??2?
2
2
?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)； (3)??2?2?
(4)＋≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论
11byax?11?(1)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)·?＋?＝a＋b＋＋baabxy?xy?
xy≥a＋b＋2ab＝(a＋b).
2
??(2)已知a，b，x，y∈R＋，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)·?＋?＝a＋b＋＋≥axy?
?
＋b＋2ab＝(a＋b).
2
abxyabaybxxy
1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( ) A．1 1C. 2答案 B
11
解析 ∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，即ab421
的最大值为.故选B.
4
2．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a＋b C．2ab 答案 D
解析 ∵a，b∈(0,1)且a≠b，则显然有a＋b>2ab，a＋b>2ab.下面比较a＋b与a＋b的大小．由于a，b∈(0,1)，∴a 3．下列函数中，最小值为4的是( ) 4 A．y＝x＋ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1B. 4D.2 2 B．2ab D．a＋b x4 B．y＝sinx＋(0 sinx－x C．y＝4e＋e答案 C xD．y＝log3x＋logx3(0 解析 A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若y＝sinx＋ 2 4sinx(0 log3xe即x＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C. 14 4．(2019·山西晋城模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( ) ab7A. 29C. 2答案 C B．4 D．5 241?14?1?4ab?9??即1＋4的 解析 y＝(a＋b)?＋?＝?5＋＋?≥?当且仅当a＝，b＝时等号成立?， ba?2?332?ab?2??ab9 最小值是.故选C. 2 1?2?1?2?5．若x，y是正数，则?x＋?＋?y＋?的最小值是( ) ?2y??2x?A．3 C．4 答案 C 解析 原式＝x＋＋1?2?＋?y＋?的最小值是4. ?2x? 6. 3－a2 7B. 29D. 2 x1y12?x＋1?22 ＋y＋＋≥4.当且仅当x＝y＝时取“＝”号，即?2y?y4y2x4x22?? a＋6(－6≤a≤3)的最大值为________． 9 答案 2 解析 当a＝－6或a＝3时，≤ 3－a＋a＋69 ＝， 22 3 当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号． 2故 核心考向突破 精准设计考向，多角度探究突破 考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值 例1 (1)已知0 11?3x＋3－3x?23 解析 ∵0 233??1 －3x，即x＝时，x(3－3x)取得最大值．故选B. 2 1B. 22D. 3 3－a3－aa＋6＝0；当－6 a＋b(－6≤a≤3)的最大值为. 9 2
2021高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式学案(含解析)北师大版
