数学驿站 www.maths168.com 平行线分线段成比例定理、作第四比例项
重点和难点：平形线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质和判定 一、知识点回顾
1、定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（这个定理其实就是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理）
2、定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 A这两个定理以及之前学过的平行线分线段成比例定理及其
ED推论在应用时都要注意“对应”二字，所写出的比例式对应位
置一定要是对应线段。
ADDE例如：BC∥DE，不能将比例写成，因为这样?BDBCBC比例式的左边和右边是不对应的。
二、例题：
例1、 已知线段a、b、c，求作a、b、c的第四比例项。
作法：（1）、任意作∠MON。
（2）在边OM上顺次截取OA=a，
bAB=b，在边ON上截取OC=c。
A（3）连结AC，过点B作BD∥AC，
a交边ON于点D
OcC则线段CD为所求。
例2、 如图，F是□ABCD的边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E。求证：
证明：∵□ABCD
∴CD∥AB，AD∥BC
∴
abcMBDNDEDF ?AEDCEDCFBDEEF（平行于三角形一边的直线截其他?AEEBA两边，所得的对应线段成比例）
EFDF ?EBDCDEDF∴ ?AEDC同理可得
说明：本题是证明等积式的典型题。要证明
ac?，经常要把它转化为两个等式：bdaeece?和?。我们通常把叫做中间比。而找中间比的常见的方法就是通过找到平
fdbff行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。
数学驿站 www.maths168.com 例3、 如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点，
AEAFCD。连??ECBFBD结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。
分析：证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结EF、DF，然后证四边形DCEF是平行四边形。
证明：连结EF、DF
∵
AEAF ?ECBFA∴EF∥BC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应
F线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。） E同理DF∥AC
∴四边形DCEF是平行四边形
BCD∴DE和CF互相平分
说明：证两直线平行，通常都是通过证角的关系来得到，现在我们又有了新的方法——证对应线段成比例。
例4、
如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，
DE1?。连结BE，延长BE交AE2AC于点F。求证AF=CF。
证明：作DH∥AC，交BF于点H
∴
DHBD（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的?CFBCAF三边与原三角形三边对应成比例。）
∵D是BC的中点
DHBD1= ?CFBC2DE1∵? AE2DHDE1同理可得??
AFAE2DHDH∴ ?AFCF∴
HEBDC∴AF=CF
说明：在证线段成比例这一类问题中，平行线是常见的辅助线。
例5、 已知：如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连结AD，BC交于E，EF⊥BD于F。求证：
111?? ABCDEFEFDFEFBF?,?（平行于三角形一边并且和其他两边相交ABBDCDBD证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD ∴AB∥EF∥CD ∴
的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。）
∴
EFEFDFBFDF?BFBD??????1 ABCDBDBDBDBD
数学驿站 www.maths168.com 111 ??ABCDEF111cc说明：证明??通常是把它转化为证??1。
abcab∴
三、训练题： 1、将正方形ABCD的BC边延长到E，使CE=AC，AE与DC相交于点F，则CE：FC=（ ）
A、2+2
B、2+1
C、2－1 D、2－2
2、如图所示，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式中不正确的是（ ） AABACBC ??ADAEDEBCBAACC、 ??FCDAAEA、
AD?BDBDD、?DAB、AEFC ?ECBFBFDE ?FCAEDEBFC AD3、如图，梯形ABCD，AD∥BC，AC、BD交于点O，过点O
EF作EF∥AD交AB、CD于点E、F，则（ ） OA、OE=OF B、OE≠OF C、OE>OF D、OE BC 4、如图，在□ABCD中，E在AD上，且4AE=5DE，CEAED交BD于F，则BF：DF=（ ） FA、4：5 B、9：4 C、10：4 D、5：9 BC5、如图，已知D为△ABC的边AC的中点，EF过D交AB及BC延长线于E、F。求证：AE?BF?BE?CF A E D BCF 6、如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE=AD，ED和AB相交于F。求证： EFAC。 ?FDBCA D F ECB 7、如图，在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延 A DBECF数学驿站 www.maths168.com 长线于F。求证： DFACEF?AB。 四、解答： 1、B 2、D 3、A 5、提示：作CG∥AB交EF于G 6、提示：作DG∥BC交AB于G 7、提示：作EG∥AB交BC于G 4、B
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