2024年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．由直线x?A．
15 411，x=2，曲线y?及x轴所围图形的面积为（ ） 2x171B． C．ln2 D．2ln2(2008宁夏理)
422．已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 （2009全国卷Ⅰ理）
3．若x?[0,??)，则下列不等式恒成立的是 (A)e?1?x?x (B)x2111?1?x?x2
241?x(C)cosx…1?
121x (D)ln(1?x)…x?x2 28x214．已知曲线y?的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）（全国二文）
42A．1 二、填空题
5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无 盖的盒子，盒子容积的最大值是 ．
6．已知曲线y=x2 （x＞0）在点P处切线恰好与圆C：x2+（y+1）2=1相切，则点P的坐标为 （
7．设函数f?x??x?lnx，若曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程为
2B．2 C．3 D．4
，6） ．（3分）
??y?ax?b，则a?b? ．
/8．已知定义在R上的可导函数y?f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)?f(x)且
/y?f(x?1)为偶函数，f(2)?1，则不等式f(x)?ex的解集为 ▲ .
9． y?sinx?tcosx在x?0处的切线方程为y?x?1 ，则t? . t=1 3210．在曲线y?x?3x?6x?10的切线中斜率最小的切线方程是____________.
三、解答题
11．已知函数f(x)?lnx,g(x)?x?bx?c
（1）若函数h(x)?f(x)?g(x)是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b?0时，两曲线y?f(x),y?g(x)有公共点P，设曲线y?f(x),y?g(x)在点P处的切线分别为l1,l2,若切线l1,l2,与x轴围成一个等腰三角形，求P的坐标。 关键字：对数；二次函数；已知单调性；求参数的取值范围；二倍角公式；已知公共点
2x3212．设f(x)?，对任意实数t，记gt(x)?t3x?t．
332(I）求函数y?f(x)?gt(x)的单调区间；
(II）求证：（ⅰ）当x?0时，f(x)gf(x)≥gt(x)对任意正实数t成立；
(ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．（浙江理）
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． (I）
13．已知函数f(x)?x?3x (Ⅰ）求f(x)的单调区间；
(Ⅱ）求f(x)在区间[-3,2]上的最值．
3
14．设常数a≥0，函数f(x)?x?lnx?2alnx?1(x?(0,??)).
(1）令g(x)?xf?(x)(x?0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小； (2）求证：f(x)在(0,??)上是增函数；
(3）求证：当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1．
15．已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是
3222y?5x?10。
（I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?1mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值. （2009四川卷文）（本小题满分12分）
16． 已知函数f(x)?x?2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
17．已知函数f(x)?alnx?1． x（1）当a?0时，求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）当a?0时，若?x?0，均有ax(2?lnx)?1，求实数a的取值范围； （3）若a?0，?x1,x2?(0,??)，且x1?x2，试比较f(大小．
18．已知函数f(x)=ln(x+a)-x-x在x = 0处取得极值．
2
x1?x2f(x1)?f(x2)的)与
22(1)求实数a的值； (2)若关于x的方程，f(x)=?取值范围；
(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln
19．设函数f(x)?5x?b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的2n?1n?1?2都成立． nnlnx?lnx?ln(x?1)． 1?x(Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+?）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．（辽宁卷22）
本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
20．已知f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?lnx，其中e是自然常数，a?R. x（Ⅰ）当a?1时, 研究f(x)的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f(x)?g(x)?；
2
（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
121．已知函数f(x)?x?2x?alnx． （1）求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
（2）若函数f(x)在区间(0,2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围； （3）当t≥1时，不等式f(3t?2)≥3f(t)?6恒成立，求实数a的取值范围．
22．设f(x)?x3?23?a?1?x2?3ax?1． 2（I）若函数f(x)在区间?1,4?内单调递减，求a的取值范围；
(II)若函数f(x)在x?a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间?1,4?内函数f(x)的单调性．（2010北京丰台模拟）
关键字：已知单调性；求参数的取值范围；已知极值点；求参数的值；研究单调性
23．某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB?AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB?交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB?PD的面积最大时制冷效果最好．
(1)设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
24．记函数fn?x??a?x?1a?R,n?NnB?
D P C
A
（第17题）
B
?*?的导函数为f??x?，已知
nf3??2??12．
(Ⅰ)求a的值．
2(Ⅱ)设函数gn(x)?fn(x)?nlnx，试问：是否存在正整数n使得函数gn(x)有且只有一
个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由．
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