试卷A参考解答
?填空题（每小题4分，共28分）
2224 13 2 设二元函数z x ? y ? x-2y,则三 \ 1.
ex ex
z
2. =(4f22(x,x-2y)). 二元函数z=f（u,v）具有二阶连续偏导数，u = x,v = x — 2y，则 一2 2 3.
2y在点（1,1,3）处的切平面方程是 （2x ?4y-z-3 = 0 ）.
是由y =丄，y = x和X二2所围成，则二重积分 dxdy=4. 设平面区域
x
22
5. 设空间曲面 Zz==4-x-y，则曲面积分 ii._zdS=( )
D；
. ：
Q_xyds二( 6. 设平面闭曲线 L是由y =3x,y =0,x =1所围成，则曲线积分
- x4x
7. )微分方程y - y = 2xy满足x = 0时y = 1的特解是（y = e
.
二.计算题（每小题9分，共45分） zz
1.设 e+2x—3y + z—1 =0 确定的二元函数 z = z(x, y)，求(1) dz(00),⑵—9
(
(0,0) , cxdy
z
解：⑴对方程两边微分：edz ■ 2dx-3dy ? dz = 0
2
把
dz
二
x=0,y=0代入方程可得
dz
(0,0)
-2dx + 3dy 空 -2 e 1
式 二-dx
3
z
z
3
, ；x e 1’
e 1
z
z = 0，再代入上
dy
2
-2
:z
.2
z
-- () 二（； y :x z
y' er-. 、 1 .6e
z z 1) (ez 1)2 :y (e
)= 一
2e
z
:
z
3
:z
4
(0,0)
2.设空间区域门是由
z = x2 y2与z=2-?.x2 ? y2所围成，计算三重积分
iii」x-2y? z）
解：根据函数的奇偶性，
dxdydz I i .i’xdxdydz： | i — ydxdydz= 0
! 11彳x -2y z)dxdydz 二 .^dxdydz
:
x : y
2 2
=兀［z dz + 江 L z(2 -z)
12
12 4
2 2
JI
3.设平面曲线L : y=sin x从点A(0,0)到B(2,0)，计算曲线积分
|L(2xy —2y)dx + (2x
2
解：根据格林公式，
2 2
JL(2xy _2y)dx+(2x y + x)dy
2
2
=L BA AB (2xy -2y)dx (2x y x)dy
兀 6 3dxdy = -3 sin xdx =
s 2
4.设空间曲面Z： z
计算曲面积分
2
n
x2 3 y2 (0乞z^1部分)，方向指向外侧，
-(x2 y)dydz (y2 z)dzdx (x z2)dxdy.
2
解：设辅助面Si： z=1, (x,y)? Dxy：x
2 2 2
? y乞1方向指向上侧，根据高斯公式,
2
!!(X y)dydz (y z)dzdx (x z )dxdy
二 “ -肯［(x
2
y)dydz (y z)dzdx (x z)dxdy］
； (x 1)dxdy
1
22
二 (2x 2y 2z)dxdydz-
3
=2 出 zdxdydz—JJD 1dxdy = 2兀 J zdz —兀
0
- xy
1
D
5.求微分方程 y\「2y ■ y = xe的通解. 解：齐次方程y“-2y'y=0的特征方程r
2
x
-2r ? 1 =0，其特征根为^=12=1
所以齐次方程的通解为 y = (C1 ? C2x)e.
x
所以y
2
x3ex，从而原方程的通解为 y=(6(2x)ex 1 x3ex
对于非齐次方程，假设其特解为
y” = x(ax b)e，将它求导代入原方程，可得
1
6ax 2b = xr a , b = 0
6
丄
2x
解：令F
2 2 2 2 2
Fx =2x+2Z1x +扎 2 = 0 1 F y = 2 y + 2 打 y + 2
\k2 2 = 0 ? F z = 2z + 3 再
=0
二
\
F = x1 2 + y2 —1 =0
A- ~3
=x y z i(x y上
-1)「,.2(x 2y 3z-6)
将这两个点分别代入目标函数，可得最大值和最小值
f)4 =*(50 _12 .5)
1
另解：x = COST, y = sin v, z (6-cos'…2sin v), v ? [0, 2二]代入目标函数
u =1 丄(6 - COST —2sin 力du
2
，
2 9
(6 - COST - 2sin r )(sin v - 2cos^ )=0= tg)- COS日=士
1
tg v - 2 —t
5 sin v 士 2
2 2 2 3
2 ?已知微分方程
(Ax y 6xy y)dx (6x y x Bx)dy = 0 是一个全微分方程
(1,2) 2 2
2
3
(3)曲线积分
(0,0)
(3x y 6xy y)dx (6 x y x x)dy
(1,2
)
1,2
3
3 2 2
(
)
「(°,。)d(x y 3x y xy) (x y + 3x y +xy)(0,0) =16
4 求该微分方程的通解.
(12),
2 2 2 3
⑶ 计算曲线积分 [00) (Ax y+6xy +y)dx+(6x y + x + Bx)dy的值.
解: (1)由于P =Ax
2
y ? 6xy2 y, ^6x2y x3 Bx，根据全微分方程的条件
—=— 12xy 3x2 B = Ax2 12xy 1 — A = 3, B = 1. :x :y
工x
5
y
2
I 2 22
3?设二元函数 f(x,y)二 x y
[0,
, (x,y)式(0,0)
(x,y)=(0,0)
(1)求证：二元函数 f(x,y)在点(0,0)处不可微.
⑵求证：函数f (x, y)在点(0,0)处沿任意方向t = (cos_：〉,cos -)的方向导数都
存在 证明：(1)根据偏导数定义
fx(0,0
f(h,0) -f(0,0)
讨论极限
fy(0, 0今 血
k
w k
0
心
f (0
凹
f( x, y) - f (0,0) - fx(0,0) x— fx(0,0) y 76
P coS a cosP 二叫 -
函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都
2
存在二 limcos^si^ - cos sin^
汗
：f(gy)-f(0,0) f ( cos： ,
cos ) =lim
=lim --------------- ：P
(\Ay
6
2
(C x) C^y))
其值随角度7而变化，所以极限不存在，从而
222
f (x, y)在点(0,0)处不可微.
(2)任意给定平面上的一个单位向量
I = (cos ,cos )，根据方向导数定义
J3x)2+(iy)2
青羊区初2016届第二次诊断性测试题
