数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列结论中成立的个数是( ) i31
①?xdx＝? 3·；
nn?i＝1
130
n
?i－1?31
②?xdx＝lim； ? n3·nn→∞i＝1?
130
n
i31③?xdx＝lim? 3·. n→∞i＝1nn?
130
n
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：由定积分的定义，知②③正确，①错误． 答案：C
2.如图所示，?bf(x)dx＝( )
?a
A．S1＋S2＋S3 B．S1－S2＋S3 C．－S1＋S2－S3 D．－S1－S2＋S3
bb解析：由定积分的几何意义知当f(x)≥0时，当f(x)≤0时，?f (x)dx表示面积S，?f(x)dx
?a?a
＝－S.
答案：C
1i?2*123．已知a＝? ?，n∈N，b＝xdx，则a，b的大小关系是( ) ??n??i＝1n
n
0
A．a>b C．a
n
B．a＝b D．不确定
1i?2解析：根据定积分的概念知，a＝? ?表示图1中n个小矩形组成的阴影部分的面
n?n?
i＝1
积，b＝?1x2dx表示由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝0围成的图2阴影部分的面积，故
?0
a>b，选A.
“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
答案：A
2??x，x≥0，
4．设f(x)＝?x则?1f(x)dx的值是( )
?2，x<0，?－1?
A. ?0x2dx
?－1
B. ?02xdx
?－1
C.?0 x2dx＋?12dx
?－1
?0
D. ?02xdx＋?1x2dx
?－1
?0
解析：因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.
答案：D
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则?af(x) dx＝0
?－a
B．若f(x)是连续的偶函数，则?af(x)dx＝2?af(x)dx
?－a
?0
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?bf(x)dx>0
?a
D．若f(x)在[a，b)上连续且?bf(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
?a
解析：本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
答案：D
1
6．若?1f(x)dx＝1，?03f(x)dx＝2，则?1f(x)dx＝________.
?2??
0
－1
－1
1
解析：∵?1f(x)dx＝1，∴?1f(x) dx＝2，
?2?
0
0
“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
2
∵?03f(x)dx＝2，∴?0f(x)dx＝，
3??
－1
－1
28
∴?1f(x)dx＝?0f(x)dx＋?1f(x)dx＝＋2＝. 33???
－1
－1
0
8
答案： 3
1
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
x11
x－?dx. 解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为?2xdx－?2dx＝?2?
??x??x?1
1
1
1
x－?dx 答案：?2??x??1
8.?b?a－x??x－b?dx＝________.
?a
解析：?b?a
?a－x??x－b?dx表示由曲线y＝?a－x??x－b?和直线x＝a，x＝b及x轴围成
图形的面积．由y＝
?a＋b?2?b－a?2
?a－x??x－b?，得y2＋?x－?＝??(y≥0)，所以y＝
2???2?
b－a?a＋b?
?a－x??x－b?表示以??为圆心，以2为半径的上半圆．
?2，0?
故?b
?a
?a
b－a21π?b－a?2
?a－x??x－b?dx表示如图所示的半圆的面积，S半圆＝π()×＝，
228π?b－a?2
?a－x??x－b?dx＝.
8
所以?b
π?b－a?2
答案：
8
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
π
解析：(1)?πsin xdx.
?3
2x
(2)?2－4dx.
2?
11
(3)－?9(－x)dx＝?9xdx.
2??2
4
4
10．利用定积分的几何意义求?2f(x)dx＋
?－2
??2??2??2x－1，x≥0，
sin xcos xdx，其中f(x)＝?
?3x－1，x<0.?
2
ππ
解析：?f(x)dx＋∫－sin xcos xdx＝?0(3x－1)dx＋?2(2x－1)dx＋
22???
－2
－2
0
??2??2sin xcos xdx.
∵y＝sin xcos x为奇函数，∴
??2??2sin xcos xdx＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
7＋1
∴? (3x－1)dx＝－×2＝－8，
2?
0
－2
1311
(2x－1)dx＝×3×－×1×＝2. ?2222?
20
∴?2f(x)dx＋
?－2
??2??2sin xcos xdx＝2－8＋0＝－6.
[B组 能力提升]
“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】
1．已知定积分?6f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，
?0
则?6f(x)dx等于( )
?－6
A．0 C．12
解析：∵被积函数f(x)为偶函数，
B．16 D．8
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． ∴?6f(x)dx＝2?6f(x)dx＝2×8＝16.
?－6
?0
答案：B
1
2．若S1＝?2x2dx，S2＝?2dx，S3＝?2exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
??x?
1
1
1
A．S1 B．S2 解析：本题考查定积分几何意义的应用问题．明确定积分中各被积函数在积分区间上所表示的图形是解题的关键．如图所示，可得S2 答案：B 3.?11－?x－1?2 dx＝________. ?0 解析：函数y＝1－?x－1?2的图象是圆心为(1,0)，半径为1的圆的上半部分．由定积分 1π 的几何意义知道，所求定积分为圆面积的，即是. 44 π 答案： 4 4．若?b[f(x)－g(x)]dx＝2，?b[f(x)＋g(x)]dx＝3，则?bf(x)dx＝________. ?a?a?a 解析：由已知得?bf(x)dx－?bg(x)dx＝2，?bf(x)dx＋?bg(x)dx＝3，两式联立可得?bf(x)dx ?a?a?a?a?a 5＝. 2 “备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/
2017-2024学年数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.5 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析
