而
于是有
(2)弹性支承情况下的冲击应力：
于是有
比较上述两种情况的结果可知，采用弹性支座，可减小系统的刚度，降低动荷系数，从而减小冲击应力。这就是缓冲减振。
例11-3 在AB轴的B 端装有一个质量很大的飞轮C(图11-6)，飞轮的转动惯量为J。轴与飞轮以角速度作等速旋转，试计算当A端被突然制动时轴内最大动应力。与飞轮相比，轴的质量可忽略不计。
图11-6
解 当A 端被突然制动时，飞轮C因惯性仍具有动能，因而AB轴受到冲击，发生扭转变形。在冲击过程中，飞轮的角速度最后降为零，它的动能Ek全部转变为轴的应变能V 。飞轮的动能为 AB轴的扭转应变能
令Ek=V ，从而求得
轴内的最大冲击切应力为
对于圆轴，
，于是
可见，冲击时轴内的最大动应力与轴的体积有关，体积越大，越小。 若飞轮的转动惯量为，轴长l=1m，转速n=100r/min，轴直径d=0.1m，剪切弹性模量G=80GPa，代入上式可求得=334MPa ，已超过Q235钢材的屈服极限。所以冲击载荷是十分有害的。
由上面的讨论可知，冲击对构件的应力和变形的影响，集中反映在冲击动荷系数上，因此要提高构件抗冲击的能力，主要措施是降低冲击动荷系数。具体方法有：
1． 降低构件刚度。从公式(11-7)可知，被冲击构件的静位移 越大，动荷系数 就越小，因此可采用降低被冲击构件刚度的办法来减缓冲击作用。而降低刚度最有效的方法是在被冲构件上增加缓冲装置，如缓冲弹簧、弹性垫圈、弹性支座等，参看例11-2。另外，也可采用弹性模量E较低的材料，或缩减构件截面尺寸，或增加构件的长度，以达到降低刚度的目的。但此时需要注意构件的冲击应力是否满足强度条件，因为E较低的材料，其许用应力往往也较低；构件截面尺寸缩小或长度增加，静应力会增大。
2． 避免构件局部削弱。如图11-7所示材料相同的两杆，一为变截面杆，一为等截面杆，受到相同的水平冲击，它们的最大静应力相同。而a 杆的静变形小于b 杆的静变形，从而a 杆的冲击动荷系数大于b 杆的冲击动荷系数，亦即a 杆的最大动应力大于b 杆的最大动应力。因此，应尽可能避免使构件局部削弱。
图11-7
3． 增大构件体积。在有些情况下，增大构件体积可以降低冲击动应力，如例11-3所示。但需注意，这一方法仅适用于等截面杆，对于上述变截面杆件不适用。
第三节 冲击韧度
材料在冲击载荷作用下，虽然其变形和破坏过程仍可分为弹性变形、塑性变形和断裂破坏几个阶段，但其力学性能与静载时有明显的差别，主要表现为屈服点与静载时相比有较大的提高但塑性却明显下降，材料产生明显的脆性倾向。为了衡量材料抵抗冲击的能力，工程上提出了冲击韧度的概念，它是由冲击试验确定的。
在冲击试验中，一般采用截面为10×10mm2，长度为55mm，中间开有切槽（缺口）的长方形试件。放在摆锤式冲击试验机上进行试验（图11-8），试验时将试件放在试验机的二支承点上，然后使试验机的摆锤（重力为F）从高度h1处自由落下，打击到试件上，将试件冲断后，摆锤摆到高度h2处。摆锻在冲击过程中所减少的位能，即为试件在折断时所吸收的功
Wk=F(h1-h2)
图 11-8
设试件切槽处的横截面面积为A，则定义材料的冲击韧度为：
（11-10）
其单位为焦耳/米2（J/m2）。αk越大，表明材料抵抗冲击的能力越强。冲击韧度与材料的塑性有关，但又不同于塑性，它是强度与塑性的综合表现。一般说，塑性材料的冲击韧度远高于脆性材料。因此，冲击韧度也是材料的力学性能指标之一。在工程实际中，有时必须对冲击韧度作出要求。
材料冲击韧度的数值随试件切槽的形式和试验机的种类不同而相差很大。目前我国规定采用图11-9所示的U型缺口和V型缺口的试件。其他国家采用的缺口形式并不统一。
图 11-9
试验结果表明，αk数值随温度降低而减小。当温度将到某一狭窄的温度区间内时，αk的数值会骤然下降，材料变脆。这种现象称为冷脆现象。使αk骤然下降的温度称为转变温
度。
并不是所有金属都有冷脆现象。如铝、铜和某些高强度合金钢，在很大的温度变化范围内，αk的数值变化很小，没有明显的冷脆现象。另外在钢材中加入适量的合金元素镍（Ni）可防止冷脆现象。
第四节 振动应力计算
构件在动载荷作用下常伴随有振动现象。如风机、水泵运行时所引起的楼板和梁的振动；机床主轴的弯曲振动；电梯曳引机主轴的弯扭振动等。当构件发生强烈振动，尤其是共振时，其应力和变形都将达到很大的值，以致造成构件破坏。因此，构件在振动时的强度计算，也是工程设计的一个重要内容。本节只讨论可以简化为一个自由度的弹性系统强迫振动时，振动应力计算，更复杂的情况可参看有关结构振动方面的书籍。
图11-10为一简支梁，在梁的跨度中点安装一重为W的电动机。电动机转子以角速度ω转动。由于转子的偏心，引起离心惯性力F。F的垂直分量为Fsinωt使梁在平衡位置的上下作横向强迫振动, F的水平分量使梁沿轴线作纵向强迫振动。因纵向振动比横向振动对梁的应力和变形的影响小得多，故只考虑横向强迫振动。略去梁的质量对振动系统的影响，系统可简化为图11-10b的单自由度振动系统。选定坐标x向下为正。作用于振动物体上的力有：重力W、弹簧的恢复力K(Δj+x)、干扰力Fsinωt、阻尼力和惯性力。这里K为弹簧的刚度，r为阻力常数，为重力作用下弹簧的静位移。由动静法得（图11-10c）：
图11-10
注意到；KΔj=W，化简上式得：
（a）
式中，称为阻尼系数； 为系统的固有频率。
由理论力学知，方程（a）的稳定解即系统强迫振动的响应为：
（b）
式中,ΔF是把干扰力F按静载的方式作用于弹簧上的静位移，而
（c）
（d）
β称为动力放大系数,θ称为初相位。
由式（b）和图11-10a可知，跨度中点的最大挠度和最小挠度分别为：
上式可改写为：
（e）
（f）
若材料服从虎克定律，则应力、载荷和变形间成正比。因此梁在静平衡时的最大静应 力j，与最大位移时的最大动应力dmax 的关系为
（g）
由于ΔF与Δj之比也等于载荷之比，即 ΔF/Δj=F/W，故上式又可写成
式中
（11-11）
（11-12）
是振动的动载荷系数。同理可求出梁在最小位移时的最小动应力为
（h）
从公式（11-11）、（11-12）可见，dmax和Kd与动力放大系数有关。而与频率比值ω/ω0及阻尼系数有关，下面根据式(c)对此作一简要讨论。
第十一章 动载荷
