第十一章 动载荷
前面各章讨论了构件在静载荷（由零逐渐增加到最后值）作用下的强度、刚度问题。这时构件上各质点的加速度很小，因而可以忽略。也就是说，构件上各点基本处于静力平衡状态。但在实际问题中，往往作用于构件上的载荷随时间有明显变化，这类载荷称为动载荷。如加速提升重物时吊绳受到的载荷，锻件受到的锻压载荷、机械零件受到的周期性变化的载荷等。动载荷可分为四类：（1）惯性载荷，（2）冲击载荷，（3）振动载荷，（4）交变载荷。在动载荷作用下所产生的应力和变形称为动应力和动变形。本章主要讨论前三类动载荷作用下的动应力和动应变的计算问题，第四类交变载荷作用下的交变应力将于下一章讨论。
第一节 惯性载荷下的动应力和动变形
一、构件作等速直线运动时的动应力和动变形
当构件作等加速直线运动时，可运用理论力学中的动静法（达朗贝尔原理），将构件上各点的加速度转化为作用于构件上的惯性力系，然后将惯性力看成是作用于构件上的一种外力，再按以前各章所述方法求出构件的应力和变形，即为构件在等加速运动下的动应力和动变形。
如图11-1a所示一起重机以等加速度a起吊一重量为W的物体，则物体除受重力W外，因以加速度a上升，还产生惯性力，大小为Wa/g,方向与加速度方向相反。按照动静法，将惯性力附加在物体上，并取物体为研究对象，若不计绳索自重，则其受力如图11-1b所示，由平衡条件 ,可得
设绳索的横截面积为A，则动应力为
（a）
式中j=W/A为绳索受重物W的作用时的静应力。引入记号
（11-1）
称为动载荷系数，则式（a）可写为
（11-2）
由上式可见，动应力等于静应力乘以动荷系数。在许多动载荷问题中，动应力的计算经常采用上式，只不过对不同的问题，动荷系数有不同的表达式。 强度条件为：
d=Kdj≤[σ] （11-3a）
或： （11-3b）
式中,[σ]为静载下材料的许用应力。上式表明动载荷强度问题也可按静载荷强度问题处理，只须将许用应力降至原值的Kd分之一。
在线弹性范围内，绳索的动变形Δd与静变形Δj之间有类似（11-2）的关系式： Δd=KdΔj （11-4）
二、构件作等速转动时的动应力
设圆环以等角速度绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴旋转（图11-2 a）。若环的平均直径D远大于厚度，则可近似地认为环内各点的向心加速度大小相等，且都为an=D2/2。设圆环的横截面积为A，单位体积的重量为，于是沿圆环轴线有均匀分布的惯性力，其集度为
图11-2
方向则背离圆心，如图11-2b所示。 为计算环内应力，将圆环沿直径切开，取上半部为研究对象（图11-2c ）。由平衡条件得
于是圆环截面的应力为
（11-5） 式中,=D/2是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为
（11-6） 从上两式看出，圆环内应力与横截面面积无关，仅与圆环的线速度和材料单位体积的重量有关。因此，要保证圆环的强度，应限制圆环的转速，而增加横截面面积是无济于事的。
例11-1 图11-3a所示重物M的质量m=1kg，重物绕垂直轴作匀速转动。转动角速度
，试求垂直轴中的最大弯曲动应力（不考虑垂直轴BC因压缩产生的压应力）。
图 11-3
解 (1)求惯性力Fd。
(2)求垂直轴AB中的最大弯矩。为此，必须先求出支反力FAX。考虑对B点的力矩平衡，有
从而可求出弯矩图如图11-3b 所示。最大弯矩在C 点上部截面，其大小为：
(3)最大弯曲应力
第二节 构件受冲击时的应力和变形
当运动物体（冲击物）以一定的速度作用到静止构件（被冲击物）上时，被冲击物将受到很大的作用力（冲击载荷）。这种现象称为冲击。被冲击物体因受冲击而引起的应力称为冲击应力。工程中冲击问题的例子很多。如锻打工件、打桩、凿孔、高速转动的飞轮的突然制动等。冲击问题，实际上也是惯性问题。但是由于冲击过程极为短暂，冲击物的加速度很难精确确定，因此就难以用动静法来求解。另外，在冲击物与受冲击构件的接触区域内，应力状态也异常复杂，这些都使冲击问题的精确计算十分困难。因此工程上通常采用近似的但偏于安全的能量法求解，并作如下假设： 1.冲击物的变形很小，可将它视为刚体；
2.冲击过程中，构件为线弹性变形，并只有位能、动能和应变能的转化，略去其它能量损失（如接触区局部塑性变形的能量损失、发热、发声等）； 3.不考虑被冲构件的质量，并无反弹。
下面以自由落体冲击为例研究冲击问题的一般解决方法。
图 11-4
图11-4所示的梁代表一受冲击的弹性构件，设有重量为W的重物自高度h处自由下落作用于梁上1点。不考虑梁的质量，根据能量守恒定律：在冲击过程中重物失去的动能Ek和位能Ep应等于梁获得的弹性应变能V，即：
（a）
在冲击物自由下落的情况下，冲击物的初速度和末速度都为零，所以动能没有变化，即 Ek=0 （b） 当重物落到最低点1'时，重物所失去的位能为
(c)
，它等于梁的应
设重物落到最低点时相应冲击载荷为Fd，由于冲击载荷和相应的位移都是由零开始增加到最终值，因此根据假设2，在冲击过程中，冲击载荷所作的功为变能，即
(d)
，则在线弹性范围内，载荷和位移
若重物以静载的方式作用于梁上，相应的静位移为成正比，即有
(e)
将式(b)、(c)、(d)、(e)代入式(a)，经过整理，得 解上式,由于
为非负值，故有
引用记号
(f)
(11-7)
称为冲击动荷系数。这样，式(e)和(f)可以写成： Fd=KdW (11-8a) =Kd类似，相应的冲击应力
(11-8b)
d和静应力j 有下述关系
d=Kdj (11-8c)
于是构件受冲击时的强度条件为
(11-9)
由上看出，求解冲击问题的关键是确定冲击动荷系数。冲击形式不同，冲击动荷系数也不同。下面再讨论几种常见情况的冲击动荷系数：
1. 如果冲击物作为突加载荷作用在梁上，此时h=0，由式(11-7)得Kd=2 ，即突加载荷作用是静载荷作用的两倍。
2. 如果自由落体时，已知的不是冲击物的高度，而是冲击物在冲击时的速度，则根据自由落体公式v2=2gh ，代入式(11-7)，得
(11-7a)
，
3. 自由落体时，若已知的是冲击物冲击时的初动能，则根据动能表达式 代入式(11-7a)，得
由于W
(11-7b)
，故上式又可写成
/2 是被冲击构件的静载应变能
(11-7c)
4. 若重物以水平速度v冲击构件时，根据冲击物的动能全部转变为构件的变形能，类似前面的推导可得
(11-7d)
例11-2 图11-5a、b分别表示两根受重物Q冲击的钢梁，其中的一根梁支承于刚性支座上，另一根梁则支于弹簧刚度系数k=100N/mm的弹性支座上。已知l=3m，h=0.05m，Q=1KN ，
，
图 11-5
,试比较二者的冲击应力。
解 (1)刚性支承情况下的冲击应力：
第十一章 动载荷
