2024全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方）
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当x?0时，若x?tanx与xk是同阶无穷小，则k? A.1. C.3.
2.设函数f(x)??B.2. D.4.
?xx,x?0,?xlnx,x?0,则x?0是f(x)的
A.可导点，极值点. C.可导点，非极值点.
B.不可导点，极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设?un?是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
uA.?n. n?1n?B.
?(?1)n?1??n1. un?un?1?C.???u??. n?1?n?1??D.
??un?12n?12?un.
?4.设函数Q(x,y)?x，如果对上半平面（y?0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有y2?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，那么函数P(x,y)可取为
Cx2
A.y?3.
y
C.
1x2B.?3. yyD.x?11?. xy1. y25.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A?A?2E，且A?4，则二次型
xTAx的规范形为
222A.y1?y2?y3. 222C.y1?y2?y3.
222B.y1?y2?y3. 222D.?y1?y2?y3.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
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ai1x?ai2y?ai3z?di(i?1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则A.r(A)?2,r(A)?3. B.r(A)?2,r(A)?2. C.r(A)?1,r(A)?2. D.r(A)?1,r(A)?1.
7.设A,B为随机事件，则P(A)?P(B)的充分必要条件是 A.P(A?B)?P(A)?P(B). B.P(AB)?P(A)P(B). C.P(AB)?P(BA). D.P(AB)?P(AB).
8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(?,?)，则PX?Y?1 A.与?无关，而与?2有关. B.与?有关，而与?2无关. C.与?,?都有关. D.与?,?都无关.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数f(u)可导，z?f(siny?sinx)?xy,则
2222??1?z1?z???= . cosx?xcosy?y10. 微分方程2yy'?y?2?0满足条件y(0)?1的特解y? . (?1)nnx在11. 幂级数?（0，??)内的和函数S(x)? .
n?0(2n)!? 第 2 页 共 10 页
12. 设?为曲面x?y?4z?4(z?0)的上侧，则
222??z4?x2?4z2dxdy= . （?1，?2，?3）13. 设??为3阶矩阵.若
性方程组?x?0的通解为 .
?1，?2线性无关，且?3???1?2?2，则线
?x?,0?x?214. 设随机变量X的概率密度为f(x)??2 为X的分布函数，F（x）??0，其他，??X?1?? . ?X为X的数学期望，则P?F（X）三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数y(x)是微分方程y'?xy?e（1）求y(x)；
（2）求曲线y?y(x)的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）
设a,b为实数，函数z?2?ax?by在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l??3i?4j的方向导数最大，最大值为10.
（1）求a,b；
（2）求曲面z?2?ax?by（z?0）的面积.
17.求曲线y?esinx(x?0)与x轴之间图形的面积.
n218.设an??x1?xdx，n=（0，1，2…）
01?x2222?x22满足条件y(0)?0的特解.
（1）证明数列?an?单调减少，且an?（2）求limn?1an?2（n=2，3…） n?2ann??an?1.
22219.设?是锥面x??y?2??(1?z)(0?z?1)与平面z?0围成的锥体，求?的形心
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