4∴x y?x?44x?4(x>2) 整理得y?2x?4x4?（3）线段OQ的长度不会发生变化 由△PAH∽△PBA 得
PAPH? PBPA即PA2?PH?PB 由△PHQ∽△POB
PQPH? PBPO即PQ?PO?PH?PB
得
∴PA?PQ?PO ∵PA=2 PO=4 ∴PQ=1 ∴OQ=3
即OQ的长度等于3.
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【点睛】
此题考查相似形综合题，解题关键在于作辅助线
类型二 【线段的积或商为定值】
【典例指引2】如图①，矩形ABCD中，AB?2,BC?5,BP?1，?MPN?900，将?MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F.当PN旋转至PC处时，?MPN的旋转随即停止.
（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时?ABP是否与?PCD相似？并
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说明理由；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，PE的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理PF由；
（3）拓展延伸：设AE?t时，?EPF的面积为S，试用含t的代数式表示S； ①在旋转过程中，若t?1时，求对应的?EPF的面积； ②在旋转过程中，当?EPF的面积为4.2时，求对应的t的值.
【答案】（1）相似；（2）定值，
PEPF?12；（3）①2，②t?2?455. 【解析】（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案； （2）由?EBP:?PGF得出
PEPF?BPGF，又FG?AB?2,BP?1为定值，即可得出答案； （3）先设AE?t,BE?2?t结合S?EPF?S矩形ABGF?S?AEF?S?BEP?S?PFG得出
S?t2?4t?5①将t=1代入S?t2?4t?5中求解即可得出答案；
②将s=4.2代入S?t2?4t?5中求解即可得出答案. 【详解】（1）相似
理由：∵?BAP??BPA?900，?CPD??BPA?900， ∴?BAP??CPD， 又∵?ABP??PCD?900， ∴?ABP:?PCD； （2）
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在旋转过程中
PE的值为定值， PF理由如下：过点F作FG?BC于点G，∵?BEP??GPF，
?EBP??PGF?90，∴?EBP:?PGF，∴
0PEBP?， PFGF∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABGF为矩形， ∴FG?AB?2,BP?1 ∴
PE1? PF2PEPE1?； 的值为定值，
PFPF2BEPE1??， （3）由（2）知：?EBP:?PGF，∴
PGPF2即在旋转过程中，又∵AE?t,BE?2?t，
∴PB?2?2?t??4?2t，BG?AF?BP?PG?1??4?2t??5?2t， ∴S?EPF?S矩形ABGF?S?AEF?S?BEP?S?PFG
111?2?5?2t??t??5?2t???1??2?t???2??4?2t??t2?4t?5
222即：S?t2?4t?5；
①当t?1时，?EPF的面积S?12?4?1?5?2， ②当S?EPF?4.2时，∴t2?4t?5?4.2
解得：t1?2?4545，t2?2?（舍去） 5545； 5∴当?EPF的面积为4.2时，t?2?【名师点睛】
本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE的函数关系式. 【举一反三】
如图1,已知直线y＝a与抛物线y?12x交于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C 48
(1)若AB＝4,求a的值
(2)若抛物线上存在点D(不与A、B重合),使CD?1AB,求a的取值范围 2(3)如图2,直线y＝kx＋2与抛物线交于点E、F,点P是抛物线上的动点,延长PE、PF分别交直线y＝－2于M、N两点,MN交y轴于Q点,求QM·QN的值。
图1 图2
【答案】（1）a?1；（2）a?4；（3）8
【解析】（1）将两个函数解析式联立，解一元二次方程求得A、B的横坐标，进而表示出AB，即可解答； （2）由（1）可得CD=
1AB=2a，设D(4m,m) ，过点D作DH⊥y轴于点H，利用勾股定理可知2DH2?CH2?CD2，进而得到(m?a)(m?a?4)?0，得到m?a?4?0，根据函数图象可知m?0，即
121212x1），F（x2,x2），P（n,n），分别表示EP和FP的解析式，当y??2时，求得444可求得a的取值范围； （3）设E（x1,xM?nx1?8nx2?81212x?，N，联立y?x和y＝kx＋2，得到x?kx?2?0，利用一元二次方程根与
n?x1n?x244QN??xMgxN即可解答. 系数的关系得到x1?x2?4k,x1x2??8，代入QMg12?y?x?【详解】（1）联立?4，
??y?a∴
12x?a，解得：x1??2a,x2?2a 4∴AB?xB?xA?4a?4 ∴a?1
（2）由（1）知AB=4a， ∴CD=
1AB=2a 2设D(4m,m)
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过点D作DH⊥y轴于点H，则DH2?CH2?CD2 ∴(4m)2?(a?m)2?4a ∴(m?a)(m?a?4)?0 又m?a ∴m?a?4?0 ∴m?a?4 又m?0 ∴a?4?0 ∴a?4 （3）设E（x14x2），F（x12121,12,4x2），P（n,4n） EP解析式为y?tx?b 将P，E代入可得：y?14(n?x11)x?4nx1 当y??2时，可求xnx1?8M?n?x， 1同理可求FP的解析式为y?14(n?x12)x?4nx2 xN?nx2?8n?x
2?12又联立??y?x得：1x2?kx?2?0 ?4?y?kx?24∴x1?x2?4k,x1x2??8
∴QMgQN??x?nx1?8nx22?8nx1x2?8n(x1?x2)?64MgxN?n?xg??21n?x2n?n(x1?x2)?x1x2 10
专题09动态几何定值问题(解析版)
