专题九 动态几何定值问题
【考题研究】
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】
动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：
第一种是分两步完成 ：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明.
【解题类型及其思路】
在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】
类型一 【线段及线段的和差为定值】
【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．
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（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝2，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
【答案】（1）①105°，②见解析；（2）6?26 【解析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，
②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
PB′，AB′，（2）如图2中，连接A′F，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
-15°=75°-75°=105° 【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°，所以∠A′CA=180°即旋转角α为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM． +15°∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°＝60°，
∴∠CEA′＝120°， ∵FE平分∠CEA′， ∴∠CEF＝∠FEA′＝60°， ∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE， ∴△FOC∽△A′OE， ∴
OFOC＝， A?OOEOFA?O∴＝， OCOE
2
∵∠COE＝∠FOA′， ∴△COE∽△FOA′， ∴∠FA′O＝∠OEC＝60°， ∴△A′CF是等边三角形， ∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°， ∴△CEM是等边三角形， ∠ECM＝60°，CM＝CE， ∵∠FCA′＝∠MCE＝60°， ∴∠FCM＝∠A′CE， ∴△FCM≌△A′CE（SAS）， ∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′， ∴△A′EF≌△A′EB′， ∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称， ∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝2AB＝2，∠MCB′＝30°， ∴B′M＝
12CB′＝1，CM＝3，
3
∴AB′＝AM2?B?M2＝(2?3)2?12＝6?26． ∴PA+PF的最小值为6?26． 【名师点睛】
本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大． 【举一反三】
如图（1），已知∠MON=90o,点P为射线ON上一点，且OP=4，B、C为射线OM和ON上的两个动点（OC?OP），过点P作PA⊥BC，垂足为点A，且PA=2，联结BP．
（1）若
S?PACS四边形ABOP?1时，求tan?BPO的值； 2（2）设PC?x，
AB?y求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； BC（3）如图(2)，过点A作BP的垂线，垂足为点H，交射线ON于点Q，点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示OQ的长．
【答案】（1）tan?OPB?4x?4OB3y?2(x>2)；；（）（3）OQ的长度等于3. ?2x?4xOP2【解析】（1）根据有两对角相等的三角形相似可证明△CAP∽△COB，由相似三角形的性质可知：
SS?PAC?COB?(AP2)，在由已知条件可求出OB的长，由正切的定义计算即可； OB4，再利用x4
（2）作AE⊥PC于E，易证△PAE∽△PCA，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等PE?
4ABOE4? ，所以?平行线的性质即可得到 x，整理即可得到求y与x之间的函数解析式，并写出y?BCOCx?4定义域即可；
C在射线OM和ON上运动时，（3）点B、探索线段OQ的长不发生变化，由△PAH∽△PBA得：即PA2=PH?PB，由△PHQ∽△POB得：PAPH?，PBPAPQPH?即PQ?PO=PH?PB，所以PA2=PQ?PO，再由已知数据PBPO即可求出OQ的长．
【详解】（1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90° ∴△CAP∽△COB ∴
S?PACS?(APOB)2 ?COB∵
S?PACS?1四边形ABOP2 ∴S?PACS?13 ?COB∴(APOB)2?13 ∵AP=2 ∴OB?23
在Rt△OBP中， tan?OPB?OB3OP?2 （2）作AE⊥PC，垂足为E， 易证△PAE∽△PCA ∴
PAPC?PEPA ∴22?PE?x ∴ PE?4x ∵∠MON=∠AEC=90° ∴ AE∥OM ∴
ABOEBC?OC
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专题09动态几何定值问题(解析版)
