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20XX 年中考数学与二次函数有关的压轴题
纵观 20XX 年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图
形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等
.数学思想涉及：分类讨
.
论；数形结合；转化，等 .现选取部分省市的 20XX 年中考题展示，以飨读者
一、与特殊平行四边形性质的有关综合题
【题 1】（ 2016?成都第 28 题）
如图，在平面直角坐标系
xOy 中，抛物线 y=a（ x+1）2﹣ 3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与
y 轴交于点 C（0，﹣ ），顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H ，过点 H 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，点 Q
在 y 轴的右侧．
（ 1）求 a 的值及点 A， B 的坐标；
（ 2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3： 7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式； （3）当点 P 位于第二象限时，设 否为菱形？若能，求出点
PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上， 则以 DP 为对角线的四边形
N 的坐标；若不能，请说明理由．
DMPN 能
【考点】 二次函数综合题．
【分析】（ 1）把点 C 代入抛物线解析式即可求出
a，令 y=0，列方程即可求出点 A、 B 坐标．
（2）先求出四边形 ABCD 面积，分两种情形： ① 当直线 l 边 AD 相交与点 M1 时，根据 S 求出点 M1 坐标即可解决问题． ② 当直线 l 边 BC 相交与点 M2 时，同理可得点 M2 坐标． （3）设 P（x1， y1）、Q（ x2， y2）且过点
= ×10=3，
H（﹣ 1， 0）的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b，得
到 b=k，利用方程
组求出点 M 坐标，求出直线 DN 解析式，再利用方程组求出点
N 坐标，列出方程求出
k，即可解决问题．
【解答】 解：（ 1）∵抛物线与 y 轴交于点 C（ 0，﹣
）．
∴a﹣ 3=﹣ ，解得： a= ，
∴y= （ x+1）2﹣ 3 当 y=0 时，有
2
（ x+1）﹣ 3=0，
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∴ x1=2 ， x2=﹣ 4，
∴A（﹣ 4， 0）， B（ 2， 0）．
（2）∵ A（﹣ 4， 0）， B（2， 0）， C（ 0，﹣ ），D （﹣ 1，﹣ 3）
∴S 四边形 ABCD =S
+S 梯形 OCDH+S
= ×3×3+ （ +3） ×1+ ×2× =10．
△ ADH △BOC
从面积分析知，直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交，所以有两种情况： ①
当直线 l 边 AD 相交与点 M1 时，则 S
= ×10=3，
∴ ×3×（﹣ y
） =3
∴y
=﹣ 2，点 M1（﹣ 2，﹣ 2），过点 H （﹣ 1， 0）和 M1（﹣ 2，﹣ 2）的直线 l 的解析式为② 当直线 l 边 BC 相交与点
M2 时，同理可得点 M2（ ，﹣ 2），过点 H（﹣ 1，0）和 M2（线
l 的解析式为 y=﹣ x﹣ ． 综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=﹣ x﹣ ． （ 3）设 P（ x1， y1）、Q（ x2，y2）且过点 H （﹣ 1， 0）的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b， ∴﹣ k+b=0 ，∴b=k， ∴y=kx+k．
由
，
∴ +（ ﹣ k） x﹣ ﹣ k=0 ，
∴ x1+x2=﹣ 2+3k， y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2
，
∵点 M 是线段 PQ 的中点，∴由中点坐标公式的点 M（ k﹣ 1， k2
）．
假设存在这样的 N 点如图，直线
DN ∥PQ，设直线 DN 的解析式为 y=kx+k﹣ 3
2
由 ，解得： x1=﹣ 1， x2=3k﹣ 1，∴ N（ 3k﹣ 1， 3k ﹣ 3）
∵四边形 DMPN 是菱形， ∴DN =DM ，
∴（ 3k） 2+（3k2） 2=（ ） 2+（ ） 2，
整理得： 3k4﹣ k2
﹣ 4=0，
∵k +1 2
＞ 0，
∴3k2
﹣ 4=0 ，
解得 k=±
，
y=2x+2． ，﹣ 2）的直
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∵ k＜ 0，
∴ k=﹣，
∴P（﹣ 3 ﹣ 1， 6），M （﹣ ﹣ 1， 2）， N（﹣ 2 ﹣ 1，1）
，
∴PM =DN=2 ∵PM∥DN， ∵DM =DN ，
∴四边形 DMPN 是平行四边形，
∴四边形 DMPN 为菱形， ∴以 DP 为对角线的四边形
DMPN 能成为菱形，此时点 N 的坐标为（﹣ 2 ﹣ 1， 1）．
【题 2】（ 2016?泰安第 28 题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 轴交于点 A（ 0， 5），与 x 轴交于点 E、 B．
2
（1）求二次函数 y=ax+bx+c 的表达式；
2 y=ax+bx+c 的顶点坐标为（ 2，9），与 y
（2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 AC 上方），作 PD 平行与 y 轴交 AB 于点 D ，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积； （3）若点 M 在抛物线上，点
N 在其对称轴上，使得以
A、E、N、 M 为顶点的四边形是平行四边形，且
AE
为其一边，求点 M、N 的坐标．
【考点】 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值额确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值． 【分析】（ 1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
中考数学分类汇编：二次函数压轴题(含答案) (2).doc
