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1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数y?y(x)由方程e222x?y?cos(xy)?0确定,则
dy?____________. dx(2) 函数u?ln(x?y?z)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM?____________. (3) 设f(x)????1, ?? ____________. (4) 微分方程y??ytanx?cosx的通解为y?____________. a1bn??a1b1 a1b2 ??ab ab ab21222n?(5) 设A??,其中ai?0,bi?0,i?1,2????ab ab ab n2nn??n1r(A)?____________. n.则矩阵A的秩 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) x2?1x1e?1的极限 ( ) (1) 当x?1时,函数 x?1(A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为? (D) 不存在但不为? (2) 级数 (?1)n(1?cos)(常数??0) ( ) ?nn?1?? (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与?有关 (3) 在曲线x?t,y??t,z?t的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在 n(4) 设f(x)?3x?x|x|,则使f(0)存在的最高阶数n为 ( ) 3223(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ?1?? 0?????(5) 要使?1?0,?2? 1都是线性方程组Ax?0的解,只要系数矩阵A为 ( ) ???????2????1?? . 实用文档 (A) ??2 1 1? (B) ?? 2 0 ?1?? ? 0 1 1??01?1???1 0 2???(C) ?? (D) ?4?2?2? ? 0 1 ?1??011??? 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 limx?0ex?sinx?11?1?xx2. ?2z(2) 设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求. ?x?y222?3?1?x, x?0,(3) 设f(x)???x求?f(x?2)dx. 1??e, x>0, 四、(本题满分6分.) 求微分方程y???2y??3y?e 五、(本题满分8分) 计算曲面积分面z??3x的通解. ??(x?3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球 a2?x2?y2的上侧. 六、(本题满分7分) 设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 七、(本题满分8分) 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面 x2y2z2???1上第一卦限的点M(?,?,?),问当?,?,?取何值时,力F所做的功W最a2b2c2大?并求出W的最大值. 八、(本题满分7分) 设向量组?1、?2、?3线性相关,向量组?2、?3、?4线性无关,问： . 实用文档 (1) ?1能否由?2、?3线性表出？证明你的结论. (2) ?4能否由?1、?2、?3线性表出？证明你的结论. 九、(本题满分7分) 设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为 ?1??1??1??1??,???2?,???3?,又向量???2?, ?1??1??2??3?????????1???4???9???3??(1) 将?用?1,?2,?3线性表出. (2) 求A?(n为自然数). 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 已知P(A)?P(B)?P(C)?n11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件A、B、 416?2XC全不发生的概率为___________. (2) 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(X?e 十一、(本题满分6分) 设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?(x)表示,其中 2)?___________. 1?(x)?2? ?x??edt). ?t221992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) . 实用文档 ex?y?ysin(xy)(1)【答案】?x?y e?xsin(xy)【解析】函数y?y(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x求导,将y看做x的函数,得ex?y(1?y?)?sin(xy)(xy??y)?0.解出y?,即 dyex?y?ysin(xy)?y???x?y. dxe?xsin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则： 如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为 dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx2.两函数乘积的求导公式： ?f(x)?g(x)???(2)【答案】 f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x). 2?1,2,?2? 9【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有 ?u2x?u2y?u2z?2??；；. ?xx?y2?z2?yx2?y2?z2?zx2?y2?z2由函数的梯度(向量)的定义,有 ??u?u?u?1gradu??,,??22x,2y,2z?, 22???x?y?z?x?y?z所以 graduM?122,4,?4????1,2,?2?. 12?22?(?2)29【相关知识点】复合函数求导法则： 如果u?g(x)在点x可导,而y?f(x)在点u?g(x)可导,则复合函数y?f?g(x)?在点x可导,且其导数为 dydydydu?f?(u)?g?(x) 或 ??. dxdxdudx(3)【答案】? 【解析】x??是[??,?]区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在 122x??处收敛于 . 实用文档 111[f(???0)?f(??0)]?[?1?1??2]??2. 222【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件： 函数f(x)在区间[?l,l]上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则f(x)在[?l,l]上的傅里叶级数收敛,而且 a0?n?n???(ancosx?bnsinx) 2n?1ll?? f(x), 若x?(?l,l)为f(x)的连续点,??1???f(x?0)?f(x?0)?, 若x?(?l,l)为f(x)的第一类间断点, ?2?1?f(?l?0)?f(l?0)?, 若x??l.??2(4)【答案】y?xcosx?Ccosx,C为任意常数 【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于e?tanxdx?1,方程两边同乘 |cosx|1,得 cosx?1??cosx积分1??y??1?y?x?C. cosx?故通解为y?xcosx?Ccosx,C为任意常数. (5)【答案】1 【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为 ai),所以A中的二阶aj子式全为0,又因ai?0,bi?0,知道a1b1?0,A中有一阶子式非零.故r(A)?1. 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的r?1阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) ??【解析】对于函数在给定点x0的极限是否存在需要判定左极限x?x0和右极限x?x0 .
1992考研数一真题及解析
