哈尔滨工程大学硕士学位论文而飞机的姿态速率磁的数值可能很高（可高达ｔ００。／ｓ一４００＂／ｓ），因此除了采用高精度的算法外，还应采用足够小的更新周期ｈ（即计算步长），则姿态更新矩阵满足．２．导航计算更新周期ｆ速度矿即时修正、经纬度计算、重力加速度ｇ的计算、高度计算以及地球速率的计算都以较长的更新周期ｆ进行。取ｒ＝ｍｈ，其中肌为正整数。３．导航显示信息更新周期Ｔ地速、位置、姿态等导航参数的计算周期可以根据导航参数显示速率的需要而选取。通常以更长的更新周期Ｔ来计算。选取Ｔ＝耵，其中ｎ为正整数。例如取ｎ－－２，即可以在完成一次ｆ周期的导航计算后计算位置和地速，而完成下一次ｆ周期的导航计算后计算姿态。２．５本章小结本章介绍了导航解算中常用坐标系及他们之间的相互转换关系，以及惯性导航系统中的比力、比力方程、惯导系统的基本方程，在此基础上讲述了捷联系统的工作原理和优点，最后讨论了捷联惯导的不同更新周期。哈尔滨工程大学硕士学位论文第３章姿态更新算法姿态实时计算是捷联惯导的关键技术，由于姿态矩阵的计算直接影响姿态角的提取和导航计算的精度，因此需要姿态更新算法具有较高的精度。载体的姿态和航向是载体坐标系和地理坐标系之间的方位关系。确定两坐标系之间的方位关系问题是力学中的刚体定点转动理论，目前在工程实践中多采用四元数法。但剐体作有限转动时，刚体的空间角位置与旋转次序无关，对于小角度的转动我们近似认为是可交换的，这样，四元数中不可避免地引入了不可交换性误差，必须采用有效的方式克服，因此设计和采用合理的姿态更新算法就成为重要的研究课题。３．１捷联惯导的姿态更新３．１．１四元数法１．四元数的基本理论哪四元数是一个由四个元构成的数，其形式为Ｑ＝鼋ｏ＋窜１ｆ＋吼，＋吼ｔ＝霉０＋ｇ（３—１）其中：吼为标量；ｑ为矢量。在刚体定点转动理论中，根据欧拉定理，动坐标系相对于参考坐标系的方位，等效于动坐标系绕某一个等效转轴转动一个角度０。如果用Ｕ表示等效转轴方向的单位向量，则动坐标系的方位完全由甜和９鼹个参数确定。则用Ｕ和０可以构造一个四元数Ｄ：ｃｏｓ旦＋“咖旦（３－２）一２２这个四元数的范数为ｌＩＱｌｌ－－ｑ０２＋ｑ１２＋９２２＋ｑ３２＝ｌ称作“规范化”四元数，也叫变换四元数。这样我们就把三维空间和一个四维空间联系起来。用四维空间的性质和运算规则来研究三维空间中的刚体定点转动问题。哈尔滨工程大学硕士学位论文三维空间的一个矢量可以看作标量为零的四元数。假定矢量，绕通过定点０某一轴转动了一个角度口，如转动后的四元数用，，表示，则以四元数，’和，间的关系按下式确定为ｒｒ＝Ｑ固ｒｏＱ．式中Ｑ‘：ｃｏｓ罢一“ｓｉＩｌ罢二‘如果矢量固定不动，而动坐标系相对参考坐标系转动了一个角度，则以四元数描述的矢量在两个坐标系上的分量的变换关系为耳＝Ｑｐ兄固∥Ｒ＝Ｑ’ｏ耳ｏＱ（３．３）将固定矢量的坐标变换即（３－３）式写成矩阵形式，并以地理坐标系为参考坐标系，则有Ｑ（咒）＝Ｍ（Ｑ．）Ｍ‘（Ｑ）Ｑ（Ｒ，）其中，Ｑ（色）、烈置）分别是用Ｒ和置构造的四元数。展开并去掉第一行，第一列，得：一Ｍ２（ｑｌｑ２－ｑｏｑ３）一隅ｍＭ－、放烈费弛弛东～ｇ：一ｑ÷＋ｑ０一《？２（ｑ２ｑ３＋ｑｏｑｌ）吼恕Ⅵ尝小Ⅻ舢引刈钊（３－４）显然如果知道了变换四元数Ｑ的四个元，则可以求出姿态矩阵的九个元素，并构成姿态矩阵。反过来，如果知道了姿态矩阵的九个元素，也可以相应的求出变换四元数的四个元。２．四元数的微分方程四元数的实时值可通过求解四元数为分方程而得到，四元数微分方程为．１Ｑ＝亡Ｑｏ国‘（３－５）式中“。”代表四元数乘法，∞是动系角速率。其中载体系ｂ相对于导航坐标系ｎ的转动四元数Ｑ可表示为１４哈尔滨工程大学硕士学位论文Ｑ＝弼＋ｑ１‘＋９２五＋吼毛甜＝ｏ＋吃‘＋咄五＋堍毛写成矩阵形式为吼●９１●ｌ＝一０一功名一砍，一磙０棚函ｂ瑶—兹９０ｑ１９２％９２●２唬叫幺０咄毛Ｍ瞄（ｆ）］删（３．６）孽，或略一呔０式中肘［．】表示求取反对称阵。３．四元数的四阶龙格库塔算法ｆ１４１在捷联计算中四元数的即时修正常用四阶龙格库塔法，其实质就是在纯，“）之间求多个斜率值，予以加权求平均，从而得到更精确的平均斜率。用四阶龙格库塔法求解微分方程的过程如下鳓＋∞＝Ｑ（ｔ）＋ｈ／６（ＫＩ＋２岛＋２玛＋哎）墨＝ｌ／２【Ｑ（０?ｎ－－ｋｂＯ）】为＝１／２｛ｆＱ蜉）＋拿明?磁Ｃｔ＋ｈ／２）｝‘玛＝１１２｛［Ｑ（ｔ）＋！≥矗】?磁０４－ｈ／２）｝‘蜀＝ｌ／２｛【Ｑ睁）＋Ｋ３ｈ］＊％－－ｂＯ＋矗）｝其中：ｈ为四元数更新周期。３．１．２等效旋转矢量法等效旋转矢量法也是建立在刚体矢量旋转思想基础上的，与四元数的不同在于：在姿态更新周期内，四元数法计算姿态四元数，而旋转矢量法先计算姿态变化四元数，再计算姿态四元数。等效旋转矢量法分两步来完成：（１）旋转矢量的计算。旋转矢量描述了飞行嚣姿态的变化。（２）四元数的更新。四元数描述了飞行器相对参考坐标系的实时方位。哈尔滨工程大学硕士学位论文１．旋转矢量的定义设动坐标系在起始时刻ｔｏ与参考坐标系重合，记为Ｏｘｏｙｏｚ０，在时刻ｔ历经具体转动而到达ＯｘＯ－ｔｚｔ位置。由理论力学知，不管具体转动如何，我们都可以等效地认为动坐标系在起始位置Ｏｘｏｙｏｚ０依次三个轴转动三次而到达Ｏｘ肌ｚｔ的位置，并称对应三次转动的角度为一组欧拉角。但事实上，我们也可以等效地认为通过绕某一瞬时轴转过一定的角度一次到达ｔ时刻位置ｏ）【她。如果记转过的角度为伊，沿瞬时轴方向的单位矢量为元，将矢量≯＝厕称为等效描述刚体转动的旋转矢量，简称为旋转矢量。２．旋转矢量与四元数这两者的联系，可以直接从它们的概念中获得。当描述转动的旋转矢量为矿＝册，即动坐标系沿筇转过角度９时，对应的四元数记为Ｑ＝‰，ｇｌ，吼，ｑ３】，那么ｃｏｓ里２Ｑ＝（３－７）鱼ｓｉｎ里口２上式建立了旋转矢量与四元数的关系。由于姿态更新周期一般都很短，ｐ很小，对应的四元数也可以写为如下的形式：吼＝１吼：三畋丁吼＝三哆ｒ鼋３：三哆丁Ｚ（３．８）式（３．８）经常应用于计算导航坐标系旋转矢量。当导航坐标系选取为地理坐标系时，用于地理坐标系旋转的四元数吐岂，的更新运算。其中气－ｔ。－Ｉ＝ｒ。ｑ，ｑ，哆为地理坐标系的绝对角速度在地理坐标系三轴上的投影。３．旋转矢量微分方程①ｏｒｔＺ方程）嗍
捷联惯导系统导航算法研究
