高中数学3.3.2函数的极值与导数课时分层作业含解析人教A版选修1_1.doc

课时分层作业(十八)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是 )

A．a＋b＋c B．3a＋4b＋c C．3a＋2b

D．c

D [由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0， 当00，当x>2时，f′(x)<0，

因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D．] 2．设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 D [∵f(x)＝xex，

∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．

∴当f′(x)≥0时，ex(1＋x)≥0，即x≥－1， ∴x≥－1时，函数f(x)为增函数． 同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数． ∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．]

3．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为( A．0 B．1 C．2 D．4

[答案] A

) (

4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是( ) A．0 C．5

D [∵f(x)＝2x3－3x2＋a， ∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1， 经判断易知极大值为f(0)＝a＝6.]

5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )

4A．，0

274

C．－，0

27

4

B．0，

274

D．0，－ 27B．1 D．6

A [f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，

???3－2p－q＝0，?p＝2，

解得? ?

1－p－q＝0，q＝－1，????

∴f(x)＝x3－2x2＋x.

114

由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取

3327极小值0.]

二、填空题

6．若函数f(x)＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________． －19 [f′(x)＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)． 由f′(x)＝0，得x＝0或4.

且当x>4或x<0时，f′(x)<0；当00.所以x＝4时函数取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.]

7．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________. 2bx2＋3x＋a1a

－2 － [f′(x)＝＋2bx＋3＝，

2xx∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，

2bx2＋3x＋a

∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．

x

?

∴由根与系数的关系知?a

?2b＝1×2，

__________．

3

－＝1＋2，2b

??a＝－2，解得?] 1

??b＝－2.

8．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为

[1,5) [f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知

???f′?－1?≤0，?1－a≤0，

即?解得1≤a<5.] ?

???f′?1?>0，?5－a>0，

三、解答题

59．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4在x＝1处取得极值.

2(1)求a，b的值； (2)求函数的另一个极值． [解] (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4， ∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 5

由题意知f′(1)＝0，f(1)＝，

2

1???3＋2a＋b＝0，?a＝－2，即?解得? 5

1＋a＋b＋4＝，??2??b＝－2.1

(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋4，

2∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)， 2

令f′(x)＝0得x＝－或x＝1.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x)

?－∞，－2? 3??＋ ↗ 2－ 30 极大值 ?－2，1? ?3?－ ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗

21302

－?＝. ∴函数的另一个极值在x＝－处取得，是极大值，极大值为f??3?27310．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？ [解] (1)f′(x)＝3x2－2x－1， 1

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) ?－∞，－1? 3??＋ ↗ 1－ 30 极大值 ?－1，1? ?3?－ ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ 15－?＝＋a， 所以f(x)的极大值是f??3?27极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0. x取足够小的负数时，有f(x)<0.

所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点． 15

－?＝＋a， 由(1)知f(x)极大值＝f??3?27f(x)极小值＝f(1)＝a－1.

∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即

55

＋a<0或a－1>0.∴a<－或a>1. 2727

5

－∞，－?∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点． ∴当a∈?27??

1．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( ) A．a<－1

B．a>－1

1

C．a<－

e

A [因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.

1

D．a>－

e

令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.] 2．(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断不正确的是( )

A．f(x)在(－2,1)上是增函数 B．当x＝2时，f(x)取极大值 C．f(x)在(1,3)上是减函数 D．当x＝4时，f(x)取极大值 [答案] ACD

3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________． 18 [f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

2???f?1?＝10，?a＋a＋b＋1＝10，

由题意，得?即?

???f′?1?＝0，?2a＋b＋3＝0，

???a＝4，?a＝－3，

解得?或?

???b＝－11?b＝3.

11当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.

3当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x)

?－∞，－11? 3??＋ ↗ 11－ 30 极大值 ?－11，1? ?3?－ ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ 显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18. 当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0， ∴f(x)没有极值，不符合题意． 综上可知，f(2)＝18.]