专题07 选考内容 大题肢解一
坐标系与参数方程
（2019山东高考模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x?23)2?(y?1)2?16，直线l的参数方程为???x?3t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
??y?t（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的值.
【肢解1】求直线l和曲线C的极坐标方程.
【肢解2】设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的值.
【肢解1】求直线l和曲线C的极坐标方程. 【解析】由x?3y得y?3?x，所以l的极坐标方程为??(??R)， 362222由(x?23)?(y?1)?16得x?y?43x?2y?3?0，
又因为x2?y2??2，x??cos?，y??sin?，
2所以曲线C的极坐标方程为??43?cos??2?sin??3?0.
【肢解2】设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的值. 【解析】将??2?62代入??43?cos??2?sin??3?0，
可得??6????3?0，即??5??3?0， 所以?1??2?5，?1??2??3，
2 1
由极坐标几何意义得|AB|?
?1??2???1??2?2?4?1?2?25?12?37.
1.参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos2??sin2??1等三角恒等式）消去参数化为普通方程.
?x2?y2??2?x??cos??2.利用关系式?，?y等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化.
?y??sin???tan??x
?x?23?4cos?【拓展1】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数）
?y??1?4sin???x?3t(x?23)2?(y?1)2?16，直线l的参数方程为?（t为参数），求直线l和曲线C的普通方程.
??y?t【解析】由??x?3t?得x?3y，所以x?3y?0，
??y?t所以l的普通方程为x?3y?0，
又因为??x?23?4cos??y??1?4sin?，所以??x?23?4cos??y?1?4sin?，
2222因为sin??cos??1，所以(x?23)?(y?1)?16，
22即曲线C的普通方程为(x?23)?(y?1)?16.
【拓展2】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为???x?3t（t为参数），以坐标原点O为极点，
??y?t2x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的方程为??43?cos??2?sin??3?0.判断直线l与曲线
C的位置关系.
【解析】由?
??x?3t得x?3y，所以x?3y?0，
??y?t2
所以l的普通方程为x?3y?0，
又因为x2?y2??2，x??cos?，y??sin?，?2?43?cos??2?sin??3?0，
22所以x?y?43x?2y?3?0，配方得(x?23)2?(y?1)2?16，圆心C(23,?1)，半径r?4，
由点到直线的距离公式得C到直线l的距离为d?所以直线l与曲线C相交.
|23?3|33??4，
22变式训练一
1.（2020湖北省沙市中学高三上学期第五次双周练）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
?x?tcos??C:??2cos??y?tsin?（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1，
???C2:??cos????3?. ?曲线
（1）求
C2的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线
C1,C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值。
【解析】（1）极坐标方程
??cos???????13??cos??sin??3?可化为22,，
?2?所以
13?cos???sin?22，
222将?cos??x,?sin??y,??x?y代入上式可得
x2?y2?13x?y?022，
所以曲线
C2x2?y2?的直角坐标方程为
13x?y?022.
??,??,??2,??，
（2）不妨设0????，点M,N的极坐标分别为1??????????????????cos????cos?????2?????2cos?3??2cos?3????． ?1?由，得到． 由，得到
3
所以
MN??1??2?
??33?????2cos??cos?????cos??sin??3sin????3?223??????，
?3?3因0????， 所
?2?3，
??所以
?3??2，即??5?6时，MN取得最大值3．
2.（2020内蒙古乌兰察布市等五市高三1月调研）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
1?x?3?t?2?（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方??y?1?3t?2?程为??2sin?.
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程； （2）若A??1,??是直线l上一点，B??2,??????3??是曲线C上一点，求
|OB|的最大值. |OA|1?x?3?t?2?【解析】（1）由题，直线l的参数方程为?（其中t为参数）.
?y?1?3t?2?消去参数t得直线l的直角坐标方程为3x?y?2?0， 由?cos??x，?sin??y，得直线l的极坐标方程?即?cos????3cos??sin??2，
???????1， 6?曲线C的极坐标方程为??2sin?，所以?2?2?sin?，
222由??x?y，?sin??y，得曲线C的直角坐标方程为x?y?2y?0.
22（2）因为A??1,??在直线l上，B??2,???????在曲线C上， 3?所以?1cos??????????????????1??2sin????2cos?????2cos??，2???????， 6?3?32?6???? 4
所以
|OB|?2??????2cos2?????2， |OA|?16??OB的最大值为2. OA
大题肢解二
不等式选讲
（2020陕西省西安中学高三上学期期末）已知函数f(x)?|x?2|?a|x?2|，
（1）当a?2时，求不等式f(x)?2的解集；
（2）当x?[?2,2]时不等式f(x)?x恒成立，求a的取值范围.
【肢解1】当a?2时，求不等式f(x)?2的解集；
【肢解2】当x?[?2,2]时不等式f(x)?x恒成立，求a的取值范围.
【肢解1】当a?2时，求不等式f(x)?2的解集；
【解析】（1）①当x??2时，f(x)??x?2?2(x?2)?x?6?2，解得x??4， ②当?2?x?2时，f(x)??x?2?2(x?2)??3x?2?2，解得?③当x?2时，f(x)?x?2?2(x?2)??x?6?2解得x?2， 综上知，不等式f(x)?2的解集为(??,?4)U(?,??).
【肢解2】当x?[?2,2]时不等式f(x)?x恒成立，求a的取值范围.
【解析】解法1：当x?[?2,2]时，f(x)?2?x?a(x?2)??(a?1)x?2(1?a)， 设g(x)?f(x)?x，则?x?[?2,2]，g(x)??(a?2)x?2(1?a)?0恒成立，
4?x?2， 343 5
2020年高考数学(理)大题分解专题07 选考内容
