第 十 一 章 反 常 积 分
§1 反常积分概念
一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .
例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?
设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为
2
F = mg R
. x2
于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为
∫ r R
当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然 地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:
+ ∞
mg R d x = mg R2 1 1 - 2 R rx
r
2
.
∫
R
mg R
x
2
2
d x = lim
∫
mgRx
2
2
图 11 - 1
r → + ∞ R
d x = mg R .
最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使
1 6
2
2
用 g = 9 .81 ( m6s/) , R = 6 .371× 10( m) 代入 , 便得
2
mv0 = mg R .
v0 = 2 g R ≈ 11 .2( km6s/) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图
11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?
§1 反常积分概念
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图 11 - 2
从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为
v =
其中 g 为重力加速度 .
设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为
2 g( h - x) ,
d x , 它们之间应满足
πR2 d x = vπr2 d t ,
由此则有
R d t =
g( h - x )
tf =
2
d x , x ∈ [0 , h] . r2 R2
2 g( h - x)R 2
2
2
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:∫ r
0 u 0
h
2
d x .
但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是
tf = lim
- u → h
∫ r
2 d x
2 g( h - x)
h -
h - u
= lim -
u → h
2
R ·g r2 2
=
2 h R g r .
相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .
二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]
上可积 .如果存在极限
lim
u→ + ∞ a
f ( x) d x = J, ∫
u + ∞ a
( 1)
则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作
J =
+ ∞ a
∫ f ( x) d x ,
+ ∞ a
( 1′)
并称
敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x ∫ f ( x) d x 收 ∫类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :
发散 .
数学分析华东师大反常积分
