第一章 集合与常用逻辑用语
§1.1 集合的概念与运算
一、知识导学
1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a?A则a?B），则称 集合A为集合B的子集，记为A?B或B?A；如果A?B，并且A?B，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或B
A.
4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A?B、B?A，则A=B.
5.补集：设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记 为 CsA.
6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常 记作U.
7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A?B.
8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并 集，记作A?B.
9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作?. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.
13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R. 二、疑难知识导析
1.符号?，，?，
，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”
*两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号?，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.
2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.
3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式
中，B=?易漏掉的情况.
5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.
6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.
7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.
8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：2n，所有真子集个数为：2n-1
三、经典例题导讲
2[例1] 已知集合M={y|y =x＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）} C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
?y?x2?1?x?0?x?1错解：求M∩N及解方程组? 得? 或 ? ∴选B
?y?1?y?2?y?x?1错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素
是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,
2M、N分别表示函数y=x＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
2正解：M={y|y=x＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选D．
22注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
当x=1时，a=2， 当x=2时，a=1．
错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A. 当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 正解：∵A∪B=A ∴B
A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}
1或?2? ∴C={0，1，2} ∴B=或??
[例3]已知m?A,n?B, 且集合A=?x|x?2a,a?Z?，B=?x|x?2a?1,a?Z?，又C=?x|x?4a?1,a?Z?，则有： （ ）
A．m+n?A B. m+n?B C.m+n?C D. m+n不属于A，B，C中任意一个 错解：∵m?A，∴m=2a,a?Z,同理n=2a+1,a?Z, ∴m+n=4a+1,故选C
错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.
正解：∵m?A, ∴设m=2a1,a1?Z, 又∵n?B,∴n=2a2+1,a2? Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2? Z , ∴m+n?B, 故选B.
[例4］ 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B实数p的取值范围．
错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
A，求
欲使B
??2?p?1A，只须???3?p?3
2p?1?5?∴ p的取值范围是－3≤p≤3.
错因：上述解答忽略了\空集是任何集合的子集\这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2. 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5. 由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2. 由①、②得：p≤3.
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
2
[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac}．若A=B，求c的值．
分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
22
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：a＋ac－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． 2
∴c－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
22
（2）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：2ac－ac－a=0，
2
∵a≠0，∴2c－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－
1． 21?A，a?1且1?A.
1?a点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则
⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－
1∈A. a⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.
1∈A ? 2∈A 21∴ A中至少还有两个元素：－1和
21⑵如果A为单元素集合，则a＝
1?a解：⑴2∈A ? －1∈A ? 即a?a?1＝0
2
该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集 ⑶a∈A ?
1∈A ? 1?a11?11?a∈A?
1?a?1A，即1－∈A
a1?a?11111∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.
aa1?a1?a11①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠
1?a1?a112
②若a=1－，即a-a+1=0，方程无解∴a≠1－
aa1111 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.
a1?aa1?a⑷由⑶知a∈A时，
综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.
点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.
[例7] 设集合A={a|a=n?1,n∈N}，集合B={b|b=k?4k?5,k∈N}，试证：
+
+
22AB．
证明：任设a∈A，
则a=n?1=(n＋2)－4(n＋2)＋5 (n∈N),
2
+
2∵ n∈N*，∴ n＋2∈N* ∴ a∈B故
①
显然，1?A?a|a?n?1,n?N+
?2*?，而由
2+
2B={b|b=k?4k?5,k∈N}={b|b=(k?2)?1，k∈N}知1∈B，于是A≠B
②
由①、② 得AB．
点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题导练
1．集合A={x|x－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（ ）
A．16 B．14 C．15 D．32 2．数集{1，2，x－3}中的x不能取的数值的集合是（ ）
A．{2，-2 } B．{－2，－5 } C．{±2，±5 } D．{5，－5}
3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道
4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P
22
2
Q
5．若集合M＝｛x|1（ ） ?1｝，N＝{x|x2≤x}，则M?N＝
x A．{x|?1?x?1} B．{x|0?x?1} C．{x|?1?x?0} D．?
6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是
_________．
27.（06高考全国II卷）设a?R，函数f(x)?ax?2x?2a.若f(x)?0的解集为A，
B??x|1?x?3?,AB??，求实数a的取值范围。
8.已知集合A=x|x?ax?12b?0和B=x|x?ax?b?0满足
?2??2?CIA∩B=?2?，A∩CIB=?4?，I=R，求实数a,b的值.
高中必修1-5错误解题分析系列-《1.1 集合的概念与运算》
