方法技巧专题(四) 转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想,
解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:未知向已知转化,数与形的相互转化,多元向一元转化,高次向低次转化,分散向集中转化,不规则向规则转化,生活问题向数学问题转化等等.
1.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是( ) A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想
D.公理化思想
2.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=1
??的图象上,顶点B在反比例函数y=5
??的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是( ) A.3
B.5
2
2
C.4 D.6
第2题图 第3题图
3.如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F两点,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是( ) A.√32 B.
2√3√3√35
C.3 D.4 4.如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=
2??
(x>0)与y=-
8??
(x<0)的图象上,则
tan∠BAO= .
第4题图 第5题图
5.如图,A,B,C,D是圆周上的四点,且????
?+?????=?????+????
?,如果弦AB=8,CD=4,那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是 .
6.如图F4-5,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值是 .
7.如图①,点O是正方形ABCD两条对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连结AG,DE. (1)求证:DE⊥AG.
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE'F'G',如图②. ①在旋转过程中,当∠OAG'是直角时,求α的度数; ②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF'长的最大值和此时α的度数,直接写出结果,不必说明理由.
【参考答案】
1.A
2.C [解析] 法一:延长BA交y轴于D,连接OB,如图,
∵四边形ABCO为平行四边形,∴AB∥x轴,即AB⊥y轴,
∵S△AOD=1
1
1
5
2×1=2,S△BOD=2×5=2,∴S△AOB=5
1
2?2=2,∴S?OABC=2×S△AOB=4.
法二:如图,作BE⊥x轴于E,延长BA交y轴于D,
∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC,OA=BC, ∴BD⊥y轴,∴OD=BE,∴Rt△AOD≌Rt△CBE(HL), 根据系数k的几何意义,得S矩形BDOE=5,S△AOD=1
2, ∴四边形OABC的面积=5-1?1
2
2
=4,故选C.
3.C [解析] 连结OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,
∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵点O为△ABC的重心,
∴∠OBC=∠OBA=1
1
2∠ABC,∠OCB=2∠ACB. ∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°. ∴OB=OC,∠BOC=120°. ∵ON⊥BC,BC=2,∴BN=NC=1,
∴ON=tan∠OBC·BN=√3×1=√333
, ∴S△OBC=1
√32BC·ON=3. ∵∠EOF=∠BOC=120°,
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,即∠EOB=∠FOC. 在△EOB和△FOC中,
∠??????=∠??????=30°,
{????=????,∠??????=∠??????,
∴△EOB≌△FOC(ASA).∴S√3阴影=S△OBC=3. 故选C.
4.2 [解析] 过A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥x轴于D,则∠BDO=∠ACO=90°,
∵顶点A,B分别在反比例函数y=2
8
??(x>0)与y=-??(x<0)
的图象上,∴S△BDO=4,S△AOC=1.
∵∠AOB=90°,∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°,∴∠DBO=∠AOC, ∴△BDO∽△OCA,∴??△????????△??????
=
????2????=4,∴????
????
=2, ∴tan∠BAO=????
????=2.
5.10π-16 [解析] 如图,把弓形CD移动,使C与B重合,连结AD.
∵????
?+?????=?????+?????, ∴???????所对的圆心角为180°, ∴AD为圆的直径, ∵AB=8,CD=4, ∴AD=√82+42=4√5, ∴图中两个弓形(阴影部分)的面积和是
π×(2√5)2
2
?
12
×8×4=10π-16.
6.12
5
[解析] ∵PE⊥AB,PF⊥AC,∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形AEPF是矩形,
连结AP,∴EF,AP互相平分.且EF=AP,∴EF,AP的交点就是M点.
∵当AP的值最小时,AM的值最小,∴当AP⊥BC时,AP的值最小,即AM的值最小. ∵1
1
2AP×BC=2AB×AC,∴AP×BC=AB×AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=√????2+????2=10. ∵AB=6,AC=8,∴10AP=6×8,∴AP=24
12
5
,∴AM=5
.
7.解:(1)证明:如图,延长ED交AG于点H.
∵点O为正方形ABCD对角线的交点, ∴OA=OD,∠AOG=∠DOE=90°. ∵四边形OEFG为正方形, ∴OG=OE, ∴△AOG≌△DOE, ∴∠AGO=∠DEO. ∵∠AGO+∠GAO=90°, ∴∠DEO+∠GAO=90°. ∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.
(2)①在旋转过程中,∠OAG'成为直角有以下两种情况:
(i)α由0°增大到90°的过程中,当∠OAG'为直角时, ∵OA=OD=1
1
2
OG=2
OG',
∴在Rt△OAG'中,sin∠AG'O=????
1
????'
=2
, ∴∠AG'O=30°. ∵OA⊥OD,OA⊥AG', ∴OD∥AG'.
∴∠DOG'=∠AG'O=30°,即α=30°.
(ii)α由90°增大到180°的过程中,当∠OAG'为直角时,同理可求得∠BOG'=30°, ∴α=180°-30°=150°.
综上,当∠OAG'为直角时,α=30°或150°. ②AF'长的最大值是2+√22,此时α=315°.
[解析] 当AF'的长最大时,点F'在射线AC上,如图所示.
∵AB=BC=CD=AD=1,
∴AC=BD=√2,AO=OD=√22. ∴OE'=E'F'=2OD=√2. ∴OF'=√(√2)2+(√2)2=2. ∴AF'=AO+OF'=√22+2.
∵∠DOG'=45°,∴旋转角α=360°-45°=315°.
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