2013年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数学（文科）
选择题部分（共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T= A．[-4,+∞） B．（-2, +∞） C．[-4,1] D．(-2,1] 2．已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=
A．5-5i B．7-5i C．5+5i D．7+5i 3．若α∈R，则“α=0”是“sinα A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设m．n是两条不同的直线，α．β是两个不同的平面， A．若m∥α，n∥α,则m∥n B．若m∥α，m∥β,则α∥β C．若m∥n，m⊥α,则n⊥α D．若m∥α，α⊥β,则m⊥β 5．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 A．108cm B．100 cm C．92cm D．84cm 3 6．函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是 2 A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 7．已知a．b．c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1)，则 A．a>0,4a+b=0 B．a<0,4a+b=0 C．a>0,2a+b=0 D．a<0,2a+b=0 8．已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是 3 3 3 3 1 A B C D x22 9．如图F1．F2是椭圆C1：+y=1与双曲线C2的公共焦点A．B分别是C1．C2在第二．四象限的公共 4 点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 （第9题图） 36 A．2 B．3 C． D． 2210．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： 若正数a．b．c．d满足ab≥4,c+d≤4,则 A．a∧b≥2,c∧d≤2 B．a∧b≥2,c∨d≥2 C．a∨b≥2,c∧d≤2 D．a∨b≥2,c∨d≥2 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。 二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3，则实数a= ____________. 12.从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），则2名都是女同学的概率等于_________. 13.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________. 14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于_________. 2 ?x?2?15.设z?kx?y，其中实数x,y满足?x?2y?4?0，若z的最大值为12，则实数k?________ . ?2x?y?4?0?16.设a,b∈R，若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab等于______________. 17. 设e1．e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2,x．y∈R.。若e1．e2的夹角为 |x|?，则的最大值等于_______. |b|6三．解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 18.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且2asinB=3b . （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ) 若a=6，b+c=8，求△ABC的面积. 19. 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列. （Ⅰ）求d，an； （Ⅱ) 若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| . 20. 如图，在在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°,G为线段PC上的点. （Ⅰ）证明：BD⊥面PAC ; （Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值； PG （Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求 的值. GC 3 21.已知a∈R，函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程； （Ⅱ)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 22. 已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1） （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A．B两点.若直线AO．BO分别交直线l：y=x-2于M．N两点， 求|MN|的最小值. 4 5 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．C 11．10 112． 513．45 914． 515．2 16．?1 17．2 18．解：（Ⅰ）由已知得到：2sinAsinB?且A?(0,?3，3sinB，且B?(0,)?sinB?0?sinA?22?2)?A??3； 1（Ⅱ）由（1）知cosA?，由已知得到： 21282， 36?b?c?2bc??(b?c)?3bc?36?64?3bc?36?bc?2322所以SVABC?12837???3； 2323 19．解：（Ⅰ）由已知得到： (2a2?2)2?5a1a3?4(a1?d?1)2?50(a1?2d)?(11?d)2?25(5?d)?d?4?d??1； ?121?22d?d2?125?25d?d2?3d?4?0??或??an?4n?6?an?11?n（Ⅱ）由（1）知，当d①当1?n?11时， 6 ?0时，an?11?n， an?0?|a1|?|a2|?|a3|?ggg?|an|?a1?a2?a3?ggg?an?②当12?n时， n(10?11?n)n(21?n)? 22an?0?|a1|?|a2|?|a3|?ggg?|an|?a1?a2?a3?ggg?a11?(a12?a13?ggg?an)11(21?11)n(21?n)n2?21n?220?2(a1?a2?a3?ggg?a11)?(a1?a2?a3?ggg?an)?2???222 ?n(21?n),(1?n?11)?2?所以，综上所述：|a1|?|a2|?|a3|?g； gg?|an|??2?n?21n?220,(n?12)??220．解：证明：（Ⅰ）由已知得三角形 ABC是等腰三角形，且底角等于30°，且 AB?CB??AD?CD???ABD??CBD??ABD??CBD?60o且?BAC?30oBD?DB??，所以；、 PA?ABCD?BD?PA?BD?AC，又因为??BD?PAC； BD?AC?（Ⅱ）设 ACIBD?O，由（1）知DO?PAC，连接GO，所以DG与面APC所成的角是 ?DGO，由已知及（1）知：BO?1,AO?CO?3?DO?7?3?2， 11OD24GO?PA?3?tan?DGO???3，所以DG与面APC所成的角的正 122GO3324切值是3； 3（Ⅲ）由已知得到：PC?PA2?AC2?3?12?15，因为PC?BGD?PC?GD，在 ?PDC中，PD?3?7?10,CD?7,PC?15，设 PG?x?CG?15?x?10?x2?7?(15?x)2?PG?x?21．解：（Ⅰ）当 32PG315,GC?15?? 55GC2，所以 a?1时，f(x)?2x3?6x2?6x?f(2)?16?24?12?4所以y?f(x)在(2,f(2))处的切线方程是：f?(x)?6x2?12x?6?f?(2)?24?24?6?6， y?4?6(x?2)?6x?y?8?0； 7 （Ⅱ）因为 ①当af?(x)?6x2?6(a?1)x?6a?6[x2?(a?1)x?a]?6(x?1)(x?a) ?1时，x?(??,1]U[a,??)时，y?f(x)递增，x?(1,a)时，y?f(x)递减，所以当 x?[0,2|a|]时，且2|a|?2，x?[0,1]U[a,2|a|]时，y?f(x)递增，x?(1,a)时，y?f(x)递减，所以最小值是 f(a)?2a3?3(a?1)a2?6a2?3a2?a3； ?f(x)递减，x?[1,2|a|]时， ②当a??1时，且2|a|?2，在x?[0,2|a|]时，x?(0,1)时，yy?f(x)递增，所以最小值是f(1)?3a?1； 综上所述：当a?1时，函数y?f(x)最小值是3a2?a3；当a??1时，函数y?f(x)最小值是 3a?1； 22．解：（Ⅰ）由已知可得抛物线的方程为：x是: 2?2py(p?0)，且 p?1?p?2，所以抛物线方程2x2?4y; x1x2x1x12x22(Ⅱ)设A(x1,),B(x2,)，所以kAO?,kBO?,所以AO的方程是：y?x， 44444x1x2??88?y?x?y?x由?，同理由?x??x?44?MN4?x4?x21??y?x?2y?x?2??所以|MN |?1?12|xM?xN|?2|x1?x288?|?82||① 4?x14?x216?4(x1?x2)?x1x2??x1?x2?4k?y?kx?12设AB:y?kx?1，由?， ?x?4kx?4?0??2?x?4y?x1x2??4?且|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?4k2?1，代入①得到： 4k2?1k2?1， |MN|?82||?8216?16k?4|4k?3|3?t设4k?3?t?0?k?， 4① 当t?0时 25?t2?6t256|MN|?82?221?2??22，所以此时|MN|的最小值是22； 4ttt 8 ② 当t?0时， 25?t2?6t25653216482|MN|?82?221?2??22(?)??22??4ttt52555t，所以此时|MN|的最小值是 82582，此时t??254，k??； 33综上所述：|MN|的最小值是 5； 9
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷，解析版1)
