第4讲 平面向量的应用举例
1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( ) π2πA. B. 335ππC. D. 66
2．(2017年天津大联考)如图X4-4-1，平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，
→→
E为DC的中点，那么AC与EB所成角的余弦值为( )
图X4-4-1
77
B．－ 7777C. D．－ 1414A.
→→3．(2015年山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝( )
33A．－a2 B．－a2
2433C.a2 D.a2 42
4．(2016年天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
→→
点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )
51A．－ B.
88111C. D. 485．(2018年天津)在如图X4-4-2所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，→→→→→→BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为( )
图X4-4-2
A．－15 B．－9 C．－6 D．0
→→
6．在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AD·BE＝1，则AB的长为________．
→→
7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DC的最大值为________．
→→
8．(2015年安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是____________．(写出所有正确结论得序号)
→→
①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.
9．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，若向量满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的取值范围是__________．
22
10．(2018年河南中原名校质量考评)已知AB是圆C：(x－1)＋y＝1的直径，点P为直
→→
线x－y＋1＝0上任意一点，则PA·PB的最小值是( )
A．1 B．0 C.2 D.2－1
1
11．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( )
2
A．－2 B．3－3 C．－1 D．0
→
12．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且AE→→→
＝EB，AD＝2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
→→A.AB·CE＝－1 →→B.OE＋OC＝0
3→→→
C．|OA＋OB＋OC|＝
2
7→→
D.ED 在BC方向上的投影为
6
第4讲 平面向量的应用举例
1．D 解析：方法一，将|a＋b|＝|a－b|两边平方并整理得a·b＝0，∴a⊥b，将|a＋b|＝2|b|
?a＋b?·a3b23a2
22
两边平方得a＝3b.记向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，
|a|2|b|·3|b|2|a＋b|·|a|2|b|·
π∴θ＝.
6
图D153 →→
方法二(推荐解法)，如图153，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为一组邻边构造平行四边
→→
形OACB，则OC＝a＋b，BA＝a－b，由|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，得OC＝AB＝2OB，故平行四边
ππ
形OACB是矩形，且∠COA＝，即a＋b与a的夹角为.
66
1→→→→→→→→→→1→→→
2．C 解析：AC＝AB＋AD，|AC|2＝|AB＋AD|2＝7；EB＝AB－AE＝AB－AD，|EB|2＝|AB
22→→AC·EB7→2→→→→?1→→?1→→
AB－AD＝，cos〈AC，EB〉＝－AD|＝1.故AC·EB＝(AB＋AD)·＝.故选C. ?2?2→→14
|AC||EB|
→→→
3．D 解析：方法一，如图D154，BD＝BC＋CD，又∠ABC＝60°，
→→
∴∠BCD＝120°，从而可知BC与CD夹角为60°， 又BC＝CD＝a，
3→→→→→→→→
∴BD·CD＝(BC＋CD)·CD＝BC·CD＋|CD|2＝a·acos 60°＋a2＝a2.故选D.
2
图D154 图D155
方法二，由菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°得∠BCD＝120°，∠ABD＝30°， 在△BCD中，由余弦定理得BD＝3a，
33→→→→
∴BD·CD＝BD·BA＝3a·acos 30°＝3a·a·＝a2.故选D.
22
a3a?方法三，如图D155建立平面直角坐标系，则C(a,0)，A?，，B(0,0)，
?22?3a3a?a3→→→→→
∴BD＝BA＋BC＝?，，又CD＝BA＝?，a?，
2??2?22?3a??a3a?3a23a23a2→→?3a
∴BD·CD＝，·，＝＋＝，故选D.
422??22?4?2
→→→
4．B 解析：方法一，如图D156，BC＝AC－AB，
→→→1→3→1→3→AF＝AD＋DF＝AB＋DE＝AB＋AC，
2224
→→→→?1→3→?∴BC·AF＝(AC－AB)·?2AB＋4AC? 3→1→1→→＝|AC|2－|AB|2－AC·AB 424311＝－－ 4281
＝.故选B. 8
图D156 图D157
方法二，建立平面直角坐标系，如图D157.
313
则A?0，?，D?－，?，
2???44?
13→→
∴BC＝(1,0)，DE＝?，－?，又DE＝2EF，
4??4
33 3?→3→
∴DF＝DE＝?，－.
28??81315 3?→→→→
又AD＝?－，－?，∴AF＝AD＋DF＝?，－，
4?8??4?8
→→?1，－5 3?＝1，故选B. ∴BC·AF＝(1,0)·
8?8?8
→→→→
5．C 解析：如图D158，连接MN，由BM＝2MA，CN＝2NA，可知点M，N分别为线段
→→→→→→→
AB，AC上靠近点A的三等分点，则BC＝3MN＝3(ON－OM)．由题意，可知OM2＝12＝1，OM·ON
→→→→→→→→·→cos 120°＝OM＝－1.结合数量积的运算法则，可得BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OMON
→
－3OM2＝－3－3＝－6.故选C.
||||
图D158
→→→→1→→→→?→1→?→21→→→2
6．6 解析：BE＝BC＋CE＝AD－AB，AD·BE＝AD·AB＝|AD|?AD－2AB?＝AD－2AD·21→1→→－|AD|×|AB|cos 60°＝4－×2|AB|×cos 60°＝1，则AB的长为6. 22
7．1 解析：方法一，如图D159，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，
→→→→
设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，DE＝(t，－1)，DC＝(1,0)，∴DE·DC＝t≤1.
图D159
→→→→→→→→→
方法二，选取{AB，AD}作为基底，设AE＝tAB，0≤t≤1，则DE·DC＝(tAB－AD)·AB＝t≤1.
→→
方法三，设AE＝tAB， →→→→→→→则DE·DC＝DE·AB＝|DE|·1·cos∠AED＝|AE|＝|t||AB|＝|t|≤1.
→→
8．①④⑤ 解析：∵△ABC是边长为2的等边三角形，AB＝2a，|AB|＝2|a|＝2，|a|＝1，故①正确；
→→→→→
AC＝AB＋BC＝2a＋b，∵AB＝2a，∴BC＝b，∴|b|＝2，故②错误且④正确；
→→
由于AB＝2a，∴BC＝b，∴a与b的夹角为120°，故③错误；
1→→4a＋b)⊥BC－?＋22＝0，(4a＋b)·(BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×?∴，故⑤正确． ?2?
9．[0,5] 解析：设a＝(3,0)，b＝(0,4)，c＝(x，y)， (a－c)·(b－c)＝(3－x，－y)·(－x,4－y)＝x2－3x＋y2－4y＝0， ?x－3?2＋(y－2)2＝25，则|c|的取值范围是[0,5]． ?2?4
→→→→→→→→
10．A 解析：∵PA＝PC＋CA，PB＝PC＋CB＝PC－CA， →→→→→→∴PA·PB＝(PC＋CA)·(PC－CA) →→→
＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1. →
又|PC|的最小值为C(1,0)到直线l：x－y＋1＝0的距离，
|1－0＋1|→
∴|PC|min＝＝2.
2
→→∴PA·PB的最小值为1.
1π
11．B 解析：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，∴〈a，b〉＝，
23
建立如图D160的平面直角坐标系，其中圆O为单位圆．
图D160
13∴a＝(1,0)，b＝?，?，
?22?设c＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0,2π))，
33
∴(a＋b)·(2b－c)＝?，?·(1－cos θ，3－sin θ)
?22?
2021届高考数学一轮复习训练第4讲平面向量的应用举例
